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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 So 19.08.2007
Autor: james54

Aufgabe
Betrachten Sie die Summe [mm] s_n [/mm] = 2+4+6+8+...2*n, n element N*, d.h. die Summe der ersten n geraden Zahlen.  a) Berechne [mm] s_1, s_2, s_3... [/mm] so lange, bis ein allgem. Ausdruck für [mm] s_n [/mm] vermutet werden kann. b) Beweise die Vermutung durch vollständige Induktion!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
benötige mal wieder Eure Hilfe zu o.g. Frage.
Zu a) habe ich folgenden Ausdruck gefunden: n(n+1) oder n² +n
Zu b) I. zu zeigen, dass Aussage richtig für n=1 richtig ist. Bei Einsetzung n=1 in die Formel n²+n wird bestätigt: [mm] s_1=2. [/mm]
II.Induktionsanfang: zu zeigen: wenn gilt [mm] s_k=k²+k, [/mm] dann gilt auch [mm] s_k+1= [/mm] (k²+k)+(k+1)=(k+1)(k+2).
Nachweis: [mm] >$s_{k+1} [/mm] = [mm] s_k+2(k+1)$< [/mm]
                 >k(k+1) + 2(k+1)<
                 >k²+3k+2<
                 >(k+1)(k+2)<
Meine Frage ist nun, ist der Nachweis so korrekt gefüht?
Vielen Dank für Eure Hilfe und Antwort!
Hans

        
Bezug
Vollständige Induktion: alles richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 So 19.08.2007
Autor: Loddar

Hallo Hans,

[willkommenmr] !!


Du hast alles richtig gemacht. [ok]

Ganz am Ende hättest Du einen Schritt sparen können, wenn Du bei [mm] $s_{k+1} [/mm] \ = \ ... \ = \ k*(k+1)+2*(k+1)$ den Term $(k+1)_$ ausgeklammert hättest.


Gruß
Loddar


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