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| Aufgabe | | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n>=1 die Funktion f mit [mm] f(x)=x^n [/mm] die Ableitung f'(x)=n*x^(n-1) bestizt. |
Induktionsanfang: für n=1 ist die Aussage wahr. Hab ich überprüft.
Induktionsschritt: Es sei K element N und man nimmt an, dass die Aussage für k gilt.
Und hier ist nun mein Problem. Wie schreib ich das auf?
??? = k*x^(k-1)
Was schreibt man auf die linke Seite?
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Also wenn ich weiß was auf die linke Seite kommt, dann kann ich auch die weiteren Induktionsschritte, nur der Ansatz it mir ein rätsel.
Grüße ichonline
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Hallo duonline 
wieso bringst du im Induktionsschritt ein k ins Spiel?
Du führst doch die Induktion über (den Exponenten) [mm] \text{n}
[/mm]
Du benötigst nun zuerst mal die [mm] \text{Induktionsvoraussetzung}, [/mm] dass für ein beliebiges, aber feste [mm] n\in\IN [/mm] die Ableitung der Funktion [mm] f_n(x)=x^n [/mm] genau [mm] f_n'(x)=n\cdot{}x^{n-1} [/mm] ist.
Unter dieser Induktionsvoraussetzung musst du nun zeigen, dass für n+1 die Ableitung der Funktion [mm] f_{n+1}(x)=x^{n+1} [/mm] eben genau [mm] f_{n+1}'(x)=(n+1)\cdot{}x^n [/mm] ist
Nun, du kannst dazu [mm] f_{n+1} [/mm] umschreiben:
[mm] f_{n+1}(x)=x^{n+1}=x\cdot{}x^n \left(=x\cdot{}f_n(x)\right)
[/mm]
Wie sieht nun die Ableitung von [mm] f_{n+1}(x) [/mm] aus?
Tipp: Produktregel und Induktionsvoraussetzung benutzen.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 12.09.2007 | | Autor: | ichonline |
achso cool ich glaub ich habs verstanden.
Die Ableitung ist dann: 1*f(x)+f'(x)*x
und jetzt form ich es eifnach so um, dass am Ende die linke und rechte Seite übereinstimmen.
Das n hab ich in k umbenannt weil wir das immer so machen, ist eig. schon unnötig.
Danke für deine Hilfe.
ichonline :)
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