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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Do 01.11.2007 | | Autor: | Miezexxx |
| Aufgabe | Eine Zahlenfolge [mm] (a_{n}) [/mm] ist gegeben durch
[mm] a_{n}=n(3n+1) (n\ge1)
[/mm]
d) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle [mm] (n\ge1) [/mm] gilt:
[mm] s_{n}=n(n+1)² [/mm] |
Kann mir das bitte jemand einmal ausführlich mit Erklärung vorrechnen? Danach Versuche ich mich an Aufgabe 2 selber.
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> Eine Zahlenfolge [mm](a_{n})[/mm] ist gegeben durch
> [mm]a_{n}=n(3n+1) (n\ge1)[/mm]
> d) Beweisen Sie durch
> vollständige Induktion, dass für alle [mm](n\ge1)[/mm] gilt:
> [mm]s_{n}=n(n+1)²[/mm]
> Kann mir das bitte jemand einmal ausführlich mit Erklärung
> vorrechnen? Danach Versuche ich mich an Aufgabe 2 selber.
Hallo,
schade, daß Du nicht ein bißchen erklärst, woran es bei dieser Aufgabe scheitert.
Prinzipiell sind mir zwei Dinge vorstellbar:
1. Du weißt nicht, wie vollständige Induktion geht.
2. Du verstehst nicht, was mit [mm] s_n [/mm] gemeint ist.
Ich gehe bis auf weiteres davon aus, daß Du die vollständige Induktion kannst und erkläre Dir das mit der n-ten Partialsumme [mm] s_n.
[/mm]
Gegeben hast Du ja eine Folge mit den Folgengliedern [mm] a_1, a_2, a_3,....
[/mm]
Unter der n-ten Partialsumme [mm] s_n [/mm] versteht man die Summe der Folgenglieder bis zum n-ten Folgenglied.
Also ist [mm] s_n= a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] +... + [mm] a_n.
[/mm]
Abkürzend kann man hierfür auch das Summenzeichen verwenden, da Du im Schulforum postest, ignoriere dies einfach, falls Ihr es noch nicht hattet:
[mm] s_n= a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] +... + [mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k.
[/mm]
Deine Folge ist ja def. durch [mm] a_n:=n(3n+1) [/mm] ,
also ist die n-te Partialsumme
[mm] s_n= [/mm] 1*(3*1+1) +2*(3*2+1) +3*(3*3+1) [mm] +...+n(3n+1)=\summe_{k=1}^{n}k(3k+1).
[/mm]
Deine Aufgabe ist es nun, per Induktion zu zeigen, daß
[mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}k(3k+1)=n(n+1)^2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 01.11.2007 | | Autor: | Miezexxx |
Tjoah .. aber genau dies ist mein Problem ... ich nehme an, dass ich nun irgendwie beweisen muss, dass
[mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}k(3k+1) [/mm] gleich
[mm] n(n+1)^2 [/mm] ist ... nur wie?
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> Tjoah .. aber genau dies ist mein Problem ... ich nehme an,
> dass ich nun irgendwie beweisen muss, dass
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> [mm]s_n=\summe_{k=1}^{n}k(3k+1)[/mm] gleich
> [mm]n(n+1)^2[/mm] ist ... nur wie?
Per vollständige Induktion.
Hast Du die vollständige Induktion verstanden und kannst mir kurz das Prinzip erklären?
Ich meine damit einfach die Abläufe, das, was prinzipiell bei einer Induktion zu tun ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Do 01.11.2007 | | Autor: | Miezexxx |
nein ... nicht wirklich
ich bin in die Klasse gekommen und fand mich dem Gegenüber ohne es je gemacht zu haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Do 01.11.2007 | | Autor: | Manabago |
Hi! Mach doch mal den Induktionsanfang. Also n=1 setzten und berechnen ob das stimmt. Dann Induktionsschritt: Angenommen die Behauptung sei für n richtig, z.z. sie ist auch für n+1 richtig. Du benutzt also, dass du schon weißt, dass die Aussage für n gilt, um sie für n+1 zu zeigen. Verstanden? Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 01.11.2007 | | Autor: | Miezexxx |
Also setze ich für jedes n ein (n+1) ein? Ungefähr so?
[mm] s_{n}=n(n+1)² [/mm]
---->
[mm] s_{n+1}=(n+1)((n+1)+1)²
[/mm]
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> Also setze ich für jedes n ein (n+1) ein? Ungefähr so?
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> [mm]s_{n}=n(n+1)²[/mm]
> ---->
> [mm]s_{n+1}=(n+1)((n+1)+1)²[/mm]
Hallo,
ja, so wie Du sagst.
Lies Dir zunächst mal ein bißchen was über vollständige  Induktion durch und schau Dir die beispiele an.
Wie Manabago schon sagt, brauchst Du zunächst eine Induktionsanfang.
Zeige die Aussage zunächst also für n=1.
Danach zeigst Du, daß unter der Voraussetzung, daß [mm] s_{n}=n(n+1)² [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] richtig ist, daß dann auch [mm] s_{n+1}=(n+1)((n+1)+1)² [/mm] gilt.
Starte so:
[mm] s_{n+1}= s_n +a_{n+1}
[/mm]
= ... Für [mm] s_n [/mm] kannst Du nun die Voraussetzung einsetzen, und von [mm] a_{n+1} [/mm] weißt Du ja auch, was das ist.
Gruß v. Angela
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