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Vollständige Induktion: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Di 08.02.2005
Autor: acosybear

Hallo zusammen,

ich versuche gerade mich mühsam an Mathe ranzutasten nach einer sehr langen Pause und dachte die Beweismethodik durch vollständige Induktion verstanden zu haben, bis ich auf folgende Aufgabe stieß, zu der ich leider keine Musterlösung habe:

Beweisen Sie: Für alle n [mm] \varepsilon \IN [/mm] gilt  
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1 ) (2k +1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm]

Ich habe den Induktionsanfang auf n= 1 gesetzt und erhalte
[mm] \summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

Danach setze ich den zweiten Induktionsschritt auf n=2 und erhalte
[mm] \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{(2k -1 ) (2k +1)} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{(2k -1 ) (2k +1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm]
n= 2 eingesetzt:
[mm] \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{3} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{5} [/mm]

Daraus folgt doch, dass die Behauptung nur für n= 1 gilt und ansonsten falsch ist. Oder habe ich da irgendwo nen Gedankenfehler?

Vielen Dank für Eure Hilfe im voraus
Gruß oli




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Vollständige Induktion: Fehler gefunden
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Di 08.02.2005
Autor: Bastiane

Hallo oli!
Ich glaube, ich habe deinen Fehler gefunden! :-)
> Beweisen Sie: Für alle n [mm]\varepsilon \IN[/mm] gilt  
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1 ) (2k +1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{2n+1} [/mm]
>  
> Ich habe den Induktionsanfang auf n= 1 gesetzt und
> erhalte
>  [mm]\summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{3}[/mm] = [mm][mm] \bruch{1}{3} [/mm]

[ok]

> Danach setze ich den zweiten Induktionsschritt auf n=2 und

das macht man aber nicht - du kannst ja schlecht für n alle natürlichen Zahlen einsetzen, stattdessen sollst du ja einen Induktionsbeweis machen. Man schreibt dann also als Induktionsvoraussetzung:
für alle n gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1 ) (2k +1)}=\bruch{n}{2n+1} [/mm]
Und nun ist der Induktionsschritt:
[mm] n\to [/mm] n+1 (was so viel bedeutet wie: Wenn es für n gilt, dann gilt es auch für n+1; und genau das, sollst du jetzt zeigen).

> erhalte
>  [mm]\summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{(2k -1 ) (2k +1)}[/mm] +  
> [mm]\bruch{1}{(2k -1 ) (2k +1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm]
>  n= 2 eingesetzt:
>  [mm]\summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{3}[/mm] +  [mm]\bruch{1}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{5}[/mm]

Wenn du n=2 berechnen möchtest, erhältst du Folgendes:
[mm] \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{(2k -1 ) (2k+1)}=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{(2*2-1)(2*2+1)}=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3*5}=\bruch{5}{15}+\bruch{1}{15}=\bruch{6}{15}=\bruch{2}{5}=\bruch{2}{2*2+1} [/mm]
und somit stimmt die Aussage wieder. :-)

> Daraus folgt doch, dass die Behauptung nur für n= 1 gilt
> und ansonsten falsch ist. Oder habe ich da irgendwo nen
> Gedankenfehler?

Wenn die Aufgabenstellung so gegeben ist, musste da ja irgendwo ein Fehler drin sein, sonst würde es ja keinen Sinn machen. ;-)

Ist jetzt alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Danke !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Di 08.02.2005
Autor: acosybear

Hallo Bastiane,

eben ist es mir wie Schuppen von den Augen gefallen. Vielen Dank für Deine Antwort.

Ich habe den Fehler gemacht, dass sich bei der Summe k hochzählt und nicht n.

Viele Grüße
oli

Bezug
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