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Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Di 16.09.2008
Autor: LiliMa

Aufgabe
Beweisen Sie durch vollständige Induktion.

[mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2} [/mm]

Hallo liebes Forum,

ich habe folgendes gemacht:

Induktionsanfang:

[mm] 1=(\bruch{1*(1+1)}{2})^{2}=1 [/mm]

Induktionsschritt:

Wenn [mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2} [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2})^{2} [/mm]

Beweis:
[mm] 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3} [/mm]

Ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weis, wie ich hier umformen soll.

Ist das überhaupt so richtig?

Viele Grüsse und danke
Lilli

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 Di 16.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Lilli,

> Beweisen Sie durch vollständige Induktion.
>  
> [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}[/mm]
>  Hallo liebes Forum,
>  
> ich habe folgendes gemacht:
>  
> Induktionsanfang:
>  
> [mm]1=(\bruch{1*(1+1)}{2})^{2}=1[/mm]
>  
> Induktionsschritt:
>  
> Wenn [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}[/mm]
> gilt, dann gilt auch
> [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2})^{2}[/mm]
>  
> Beweis:
>  
> [mm]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=(\bruch{n*(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3}[/mm]
>  
> Ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weis,
> wie ich hier umformen soll.
>  
> Ist das überhaupt so richtig?

ja, sehr gut soweit, du bist auf dem besten Wege und fast am Ziel, der Rest ist nur "geschickte" Umformung

Weiter: [mm] $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$ [/mm]

Nun der eigentliche "Trick"

[mm] $=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{\blue{4}(n+1)^3}{\blue{4}}$ [/mm]

Klammere nun [mm] $\frac{(n+1)^2}{4}$ [/mm] aus ...



>  
> Viele Grüsse und danke
>  Lilli



LG

schachuzipus

Bezug
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