Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n [mm] \in [/mm] N gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j(j+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] |
Würde es reichen, wenn ich einfach für n einen wert einsetze, ausrechne, und dann einfach nochmal n+1 einsetze und wieder ausrechne??
vollständige induktion soll ja "nur" beweisen, dass das was für n gilt auch für n+1 gilt...
danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 07.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
ein Tipp vorweg: Nicht so viele verschiedene Aufgaben auf einmal bearbeiten. Erst einmal auf ein Themengebiet beschränken und verstehen!
> Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n [mm]\in[/mm] N
> gilt:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j(j+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm]
> Würde es reichen, wenn ich einfach für n einen wert
> einsetze, ausrechne, und dann einfach nochmal n+1 einsetze
> und wieder ausrechne??
Nenene.
> vollständige induktion soll ja "nur" beweisen, dass das
> was für n gilt auch für n+1 gilt...
Aber für ALLE [mm] n\in\IN. [/mm]
Du musst mittels vollständiger Induktion zeigen, dass
[mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j(j+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm] für ALLE [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
Induktionsanfang: n=1 hier darfst du einen Wert einsetzen, nämlich n=1 und gucken, ob es stimmt.
Induktionsvoraussetzung: Es gilt [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j(j+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm] für ALLE [mm] n\inIN [/mm]
Induktionsschritt: [mm] n\to{\red{n+1}}
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{\red{n+1}} \bruch{1}{j(j+1)}=....=\bruch{\red{n+1}}{\red{n+1}+1}
[/mm]
musst du durch geschicktes Umstellen und Verwendung der Induktionsvoraussetzung zeigen.
Versuch's einmal. Und dann schreibst du einmal, an welcher Stelle du nicht weiter kommst.
MfG barsch ![[koffein]](/images/smileys/koffein.gif "[koffein]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Max80 |
danke für die Antwort!
die gleichung muss jetzt umgestellt werden???
muss man das machen zum beweisen?
hatte mir das einfacher vorgestellt. hätte wohl besser eher anfangen sollen damit als 1 tag vor abgabe *duck*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Sa 07.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Das machen wir einfach mit Aufspalten der Summe:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1}\bruch{1}{j(j+1)}
[/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{j(j+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
Der erste Summand ist nach Induktionsvorraussetzung bekannt, da die Behauptung für n gilt. Der andere bleibt so wie er ist, also
[mm] =\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
und die Brüche irgendwie zusammenfassen:
[mm] =\bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{n+1}{(n+1)+1}
[/mm]
Ich denke die Schritte sind klar.
Schönen Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Max80 |
erstmal vielen dank für die antwort!!
wo holst du jetzt die vielen brüche her??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Sa 07.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Ist das wirklich immer noch nicht klar?
Ich habe die Summe aufgespalten, in die restliche Summe die Vorraussetzung eingesetzt und habe 2 Brüche.
Die beide zusammengefasst, also auf den Hauptnenner gebracht ergibt einen einzigen Bruch.
Erklär mal genauer, an welcher Stelle es noch hakt.
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