Vollständige Induktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (3 Punkte) Formulieren Sie eine allgemeine Formel, die die folgenden Beobachtungen
wiedergibt, und beweisen Sie sie durch vollständige Induktion.
[mm] 1^3 [/mm] = 1
[mm] 2^3 [/mm] = 3 + 5
[mm] 3^3 [/mm] = 7 + 9 + 11
[mm] 4^3 [/mm] = 13 + 15 + 17 +19 |
Hallo es geht um die obengenannte Frage. Wir haben bereits eine Formel aufgestellt und dies mittels Induktion bis zum Induktionsschritt gezeigt. Beim Induktionsschritt kommen wir jedoch nicht weiter.
Formel:
[mm] n^3 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ((2i-1) + n(n-1))
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] ((2i-1) + (n+1)((n+1) -1)))
da wir unsere Formel schon gezeigt haben für n=2 gilt dies aus diese als Voraussetzung.
Nun möchten wir die rechte Seite so auflösen das wir die Summe bis n läuft und durch [mm] n^3 [/mm] ersetzen können
[mm] (n+1)^3 [/mm] = (2(n+1)-1) + (n+1)((n+1)-1) + [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ((2i-1) + n(n-1))
Nach Voraussetzung
[mm] (n+1)^3 [/mm] = (2(n+1)-1) + (n+1)((n+1)-1) + [mm] n^3
[/mm]
Leider funktioniert das so nicht.
Die eigentlich frage ist damit, was müssen wir aus der Summe ziehen, damit dies Sinn ergibt.
Viel dank im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Di 24.03.2009 | | Autor: | statler |
Hallo! ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> (3 Punkte) Formulieren Sie eine allgemeine Formel, die die
> folgenden Beobachtungen
> wiedergibt, und beweisen Sie sie durch vollständige
> Induktion.
>
> [mm]1^3[/mm] = 1
> [mm]2^3[/mm] = 3 + 5
> [mm]3^3[/mm] = 7 + 9 + 11
> [mm]4^3[/mm] = 13 + 15 + 17 +19
> Hallo es geht um die obengenannte Frage. Wir haben bereits
> eine Formel aufgestellt und dies mittels Induktion bis zum
> Induktionsschritt gezeigt. Beim Induktionsschritt kommen
> wir jedoch nicht weiter.
>
> Formel:
>
> [mm]n^3[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (2i-1) + n(n-1)
Die stimmt so schon mal nicht. Vielleicht stimmt aber
[mm]n^3[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ((2i-1) + n(n-1))
Weiter habe ich nicht nachgedacht ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Di 24.03.2009 | | Autor: | thunder12 |
danke
die war auch eignetlich so gemeint :) Sry Klammern vergessen.
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ((2i-1)+n(n+1))
sollte es natürlich heißen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Di 24.03.2009 | | Autor: | statler |
> (3 Punkte) Formulieren Sie eine allgemeine Formel, die die
> folgenden Beobachtungen
> wiedergibt, und beweisen Sie sie durch vollständige
> Induktion.
>
> [mm]1^3[/mm] = 1
> [mm]2^3[/mm] = 3 + 5
> [mm]3^3[/mm] = 7 + 9 + 11
> [mm]4^3[/mm] = 13 + 15 + 17 +19
> Hallo es geht um die obengenannte Frage. Wir haben bereits
> eine Formel aufgestellt und dies mittels Induktion bis zum
> Induktionsschritt gezeigt. Beim Induktionsschritt kommen
> wir jedoch nicht weiter.
>
> Formel:
>
> [mm]n^3[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (2i-1) + n(n-1)
Vielleicht bringst du die Formel mal in Ordnung und schreibst sie um
[mm]n^3[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ((2i-1) + n(n-1))
= [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (2i-1) + [mm] n^2*(n-1)
[/mm]
Jetzt ist doch [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1. Die Ind.-vorauss. liefert dir den Wert von [mm] n^3, [/mm] und dann mußt du mal ein bißchen herumrechnen.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Di 24.03.2009 | | Autor: | thunder12 |
[mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] ((2i-1)+(n+1)((n+1)-1)))
[mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + [mm] 1=\summe_{i=1}^{n+1} [/mm] ((2i-1)+(n+1)((n+1)-1)))
n.V.
[mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+n(n-1))+3n^2+3n+1=\summe_{i=1}^{n+1} [/mm] ((2i-1)+(n+1)((n+1)-1)))
[mm] \cdots [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1}((2i-1)+(n+1)((n+1)-1)))
[/mm]
[mm] \cdots [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+n(n-1))+ [/mm] (2(n+1)-1)+((n+1)((n+1)-1))
[mm] \cdots [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+n(n-1)) [/mm] + [mm] (2n+2-1)+(n^2+n)
[/mm]
[mm] \cdots [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+n(n-1)) [/mm] + [mm] (2n+2-1)+(n^2+n)
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+n(n-1))+3n^2+3n+1 \not=\summe_{i=1}^{n}((2i-1)+n(n-1))+n^2+3n+1
[/mm]
da haben wir irgendwo einen fehler :( die drei fehlt
|
|
|
| |
|
Ich würde den Schritt formal anders aufschreiben:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}((2i-1)+(n+1)((n+1)-1)))
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n+1}((2i-1)+(n+1)n)
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+(n+1)n) [/mm] + (2n+2-1) + [mm] n^{2} [/mm] + n
Jetzt stimmt der Summand noch nicht mit dem aus der Ind.Beh. überein, denn hier steht jetzt (neben dem korrekten Term mit dem i) n(n+1), während in der Induktionsbehauptung dort n(n-1) steht. Also schreiben wir weiter:
= $ [mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+(n-1)n [/mm] +2n) + (2n+2-1) + [mm] n^{2} [/mm] + n
Wir schreiben die (n-1)*n so wie wir es brauchen, müssen dies aber durch die +2n wieder korrigieren. Nun kann man die Summe auseinanderziehen:
= [mm] \summe_{i=1}^{n}2n [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n}((2i-1)+(n-1)n) [/mm] + (2n+1) + [mm] n^{2} [/mm] + n
Die erste Summe lässt sich leicht ausrechnen, denn dort wird n-mal 2n summiert, d.h. sie ergibt [mm] 2*n^{2}. [/mm] Die zweite Summe ist nach Ind.Beh./Vor. gerade gleich [mm] n^{3}. [/mm] Das ergibt also:
= [mm] 2*n^{2} [/mm] + [mm] n^{3} [/mm] + 2n+1 + [mm] n^{2} [/mm] + n
= [mm] n^{3} [/mm] + [mm] 3*n^{2} [/mm] + 3*n + 1
= [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Mi 25.03.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Damit wir hier mal ein Ende finden, ein ganz anderer Vorschlag.
> (3 Punkte) Formulieren Sie eine allgemeine Formel, die die
> folgenden Beobachtungen
> wiedergibt, und beweisen Sie sie durch vollständige
> Induktion.
>
> [mm]1^3[/mm] = 1
> [mm]2^3[/mm] = 3 + 5
> [mm]3^3[/mm] = 7 + 9 + 11
> [mm]4^3[/mm] = 13 + 15 + 17 +19
> Hallo es geht um die obengenannte Frage. Wir haben bereits
> eine Formel aufgestellt und dies mittels Induktion bis zum
> Induktionsschritt gezeigt. Beim Induktionsschritt kommen
> wir jedoch nicht weiter.
>
> Formel:
>
> [mm]n^3[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ((2i-1) + n(n-1))
Die ist richtig (das beweisen wir ja gerade), aber wir schreiben sie um:
[mm] $\dots$ [/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (2i-1) + [mm] n^2*(n-1)
[/mm]
= [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]2i - n + [mm] n^2*(n-1)
[/mm]
= [mm]2*\summe_{i=1}^{n}[/mm]i - n + [mm] n^2*(n-1)
[/mm]
Jetzt muß man die Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen kennen, die man auch mit vollständiger Ind. beweist.
[mm] $\dots$ [/mm] = [mm]2*\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] - n + [mm] n^2*(n-1)
[/mm]
= n$*$(n+1) - n + [mm] n^2*(n-1)
[/mm]
= [mm] n^2 [/mm] + n - n + [mm] n^3 [/mm] - [mm] n^2 [/mm] = [mm] n^3 [/mm] qed
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mi 25.03.2009 | | Autor: | thunder12 |
vielen dank
wir haben es nun etwas anders gemacht, aber es passt auf jedenfall :)
danke nochmal
|
|
|
|
