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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe 1 | Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige Induktion:
1) [mm] 2^{n} [/mm] > n für alle n [mm] \in \IN [/mm] {0} |
| Aufgabe 2 | | 2) [mm] \vmat{\summe_{k=0}^{n} x_{k}} \le \summe_{k=0}^{n} \vmat{x_{k}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] {0} |
Guten Tag liebe Leute,
leider habe ich bei beiden Aufgaben so meine Problemchen.
Zu Aufgabe 1)
IA: Für n=1 gilt: [mm] 2^{1} [/mm] > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Aussage erfüllt für n=1
IV: Diese Behauptung gelte dann auch für n+1: [mm] 2^{n+1} [/mm] > n+1
IS: [mm] 2^{n+1} [/mm] > ??? Diesen Schritt bzw. diesen Ansatz habe ich nicht verstanden. Gibt es dazu einen allgemeinem Ansatz?
2) Hier habe ich den Tip bekommen, es mit der Pascalschen Dreiecksungleichung zu lösen, aber wie?
IA: Für n=1 gilt: [mm] \vmat{\summe_{k=0}^{1} x_{0}} \le \summe_{1=0}^{n} \vmat{x_{0}} \Richtarrow [/mm] Diese Aussage stimmt offensichtlich.
IV: Diese Behauptung gelte dann auch für n+1:
[mm] \vmat{\summe_{k=0}^{n+1} x_{k}} \le \summe_{k=0}^{n+1} \vmat{x_{k}}
[/mm]
Ab hier fehlen mir die zündenen Ideen =(!
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Gruß Jonny
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Hallo Newbie!
Du musst immer versuchen, Deinen Ausdruck aus der Induktionsvoraussetzung zu erhalten. Dies gelingt hier über:
[mm] $$2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 2*2^n$$
[/mm]
Nun kannst Du mittels Induktionsvoraussetzung für [mm] $2^n$ [/mm] abschätzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
IA: Für n=1 gilt: [mm] 2^{n}> [/mm] 1 Aussage erfüllt für n=1
IV: Diese Behauptung gelte dann auch für n+1: [mm] 2^{n+1}> [/mm] n+1
IS: [mm] 2^{n}*2^{1} [/mm] > 1 + n
[mm] \dgw 2^{n+1} [/mm] > 1 + n
Ich glaube, dass ist nicht der richtige Weg?!
Aufgabe 2) versuche ich später, wenn ich 1) verstanden habe
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Hallo,
das ist etwas durcheinander ...
IA: $n=1$: es ist [mm] $2^1=2>1$, [/mm] also Beh. erfüllt für $n=1$
IS [mm] $n\to [/mm] n+1$:
IV: Sei [mm] $n\in\IN, [/mm] n>1$ beliebig und gelte [mm] $\red{2^n>n}$
[/mm]
Dann ist [mm] $2^{n+1}=2\cdot{}\red{2^n}>2\cdot{}\red{n}$ [/mm] nach IV
$=n+n>n+1$
Also ist mit [mm] $2^n>n$ [/mm] auch [mm] $2^{n+1}>n+1$, [/mm] was zu zeigen war
fertig
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Aaaah, jetzt hab ichs gerafft! Danke für deine Mühe =)! Dann werde ich mich gleich mal an Aufgabe 2) herantasten
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Hallo Jonny!
Auch hier geht man genauso vor ...
[mm] $$\left|\summe_{k=0}^{n+1} x_k\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\summe_{k=0}^{n} x_k+x_{n+1}\right|$$
[/mm]
Hierauf nun die Dreiecksgleichung anwenden ... und Du bist fast fertig.
Gruß vom
Roadrunner
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