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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 So 07.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
a) [mm] 2^n [/mm] > 2n + 1.
b) [mm] 2^n [/mm] > n².
c) n³ - n ist für alle natürlichen Zahlen n durch 6 teilbar.
Hinweis: Bei Ungleichungen muss man bezüglich des Induktionsanfanges aufpassen. |
Hallo,
also ich habe hier angefangen mit n=1 aber das geht ja bei allen 3 Teilaufgaben nicht. Heißt das, meine Voraussetzung ist n > 1 bzw 2 (bei a und c)?
Und hat das irgendwelche Konsequenzen für mein weiteres Induktionsverfahren? Oder kann ich das dann normal durchgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 So 07.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
du hast richtig erkannt, dass du bei dem Induktionsanfang aufpassen musst.
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
> a) [mm]2^n[/mm] > 2n + 1.
Du musst also gucken, welche kleinste natürliche Zahl die Ungleichung erfüllt. In diesem Fall ist n=3 die kleinste natürliche Zahl, die die Ungleichung [mm] 2^n>2n+1 [/mm] erfüllt.
Du behauptest demnach:
[mm] 2^n>2n+1 [/mm] für alle [mm] {n\ge{3}}, [/mm] wobei [mm] n\in\IN.
[/mm]
Induktionsanfang n=3: ...
Ansonsten hat es keine weiteren Konsequenzen für deine Induktion. Du kannst also wie gewohnt fortfahren.
> b) [mm]2^n[/mm] > n².
Hier ebenso: Welche kleinste natürliche Zahl erfüllt die Ungleichung b)?
> c) n³ - n ist für alle natürlichen Zahlen n durch 6
> teilbar.
Vorgehen wie oben.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
Also bei b) habe ich dann den Induktionsanfang:
n=1 -> 2 > 1 -> wahr
n=2 -> 4 > 4 -> falsch
n=3 -> 8 > 9 -> falsch
n=4 -> 16 >16 -> falsch
n=5 -> 32 > 25 -> wahr
Also muss ich n=5 nehmen und bekomme dann als Induktionsschritt
a) Annahme: Es gibt ein n N [mm] \ge [/mm] 5, so dass gilt: [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2
[/mm]
b) Behauptung: dann gilt auch 2^(n+1) > [mm] n+1^2
[/mm]
c) Beweis: 2^(n+1) = [mm] 2^n [/mm] * [mm] 2^1
[/mm]
so...und dann verließen mich die Geister...
ebenso bei c) da komme ich bis zu dem Punkt dass ich diesen Term habe: [mm] (n^3-n) [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n
der erste Teil ist ja wie in der Behauptung gesagt durch 6 teilbar. Aber was ist mit [mm] 3n^2 [/mm] + 3n
Habe noch Zeit bis morgen Mittag um ca. 11-12 Uhr. :) danke schon mal:)
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Hallo Mala23,
> Also bei b) habe ich dann den Induktionsanfang:
>
> n=1 -> 2 > 1 -> wahr
> n=2 -> 4 > 4 -> falsch
> n=3 -> 8 > 9 -> falsch
> n=4 -> 16 >16 -> falsch
> n=5 -> 32 > 25 -> wahr
>
> Also muss ich n=5 nehmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ganz genau!
> und bekomme dann als
> Induktionsschritt
> a) Annahme: Es gibt ein [mm] $n\in\IN, n\ge [/mm] 5$, so dass gilt: [mm] $2^n>n^2$
[/mm]
>
> b) Behauptung: dann gilt auch [mm] $2^{n+1} [/mm] > [mm] \red{(}n+1\red{)}^2$
[/mm]
Achtung mit den Klammern!
>
> c) Beweis: [mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n\cdot{}2^1$ [/mm]
>
> so...und dann verließen mich die Geister...
Das ist genau der richtige Ansatz, nun weiter ...
[mm] $=2\cdot{}2^n>2\cdot{}n^2$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung [mm] ($2^n>n^2$)
[/mm]
Und [mm] $2n^2=n^2+\blue{n^2}>n^2+\blue{2n+1}=(n+1)^2$
[/mm]
fertig 
>
> ebenso bei c) da komme ich bis zu dem Punkt dass ich diesen
> Term habe: [mm](n^3-n)[/mm] + [mm]3n^2[/mm] + 3n
>
> der erste Teil ist ja wie in der Behauptung nach Induktionsvoraussetzung gesagt durch 6
> teilbar. Aber was ist mit [mm]3n^2[/mm] + 3n
Klammere hier $3n$ aus, das gibt $3n(n+1)$
Nun ist $3n(n+1)$ offensichtlich durch 3 teilbar, bleibt zu prüfen, ob es auch durch 2 teilbar ist.
Wenn das der Fall ist, ist es auch durch [mm] $3\cdot{}2=6$ [/mm] teilbar, klar.
Also nehmen wir an, dass n gerade ist, dann ist $3n$ gerade, also durch 2 teilbar, damit auch $3n(n+1)$
Wenn n ungerade ist, so ist n+1 gerade, also durch 2 teilbar, damit auch $3n(n+1)$
Also ist $3n(n+1)$ in jedem Falle durch 3 und 2, also auch durch 6 teilbar.
Damit ergibt sich:
(1) [mm] $n^2-n$ [/mm] durch 6 teilbar nach Ind. voraussetzung
(2) $3n(n+1)$ durch 6 teilbar
Damit ist auch die Summe [mm] $(n^3-n)+3n(n+1)$ [/mm] durch 6 teilbar, das ist aber genau [mm] $(n+1)^3-(n+1)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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> Habe noch Zeit bis morgen Mittag um ca. 11-12 Uhr. :) danke
> schon mal:)
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Hallo nochmal,
eine Bem. zu Aufgabe 3 noch:
Die lässt sich viel schneller und eleganter ohne Induktion zeigen.
Du kannst [mm] $n^3-n=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)$ [/mm] schreiben als Produkt dreier aufeinanderfolgender nat. Zahlen:
$(n-1)n(n+1)$
Das ist sowohl durch 2 teilbar, denn für n gerade ist es klar und für n ungerade sind $n-1$ und $n+1$ gerade, also auch durch 2 teilbar.
Durch 3 teilbar ist das Produkt offenbar auch, denn n kann ja bei Division durch 3 nur die Reste 0 (dann ist es direkt klar) oder 1 (dann ist aber n-1 durch 3 teilbar) oder 2 (dann ist n+1 durch 3 teilbar) lassen.
Aber in der Aufgabenstellung steht ja "per Induktion" ...
Aber als kleiner zusätzlicher Hinweis schien mir das sinnvoll
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Di 09.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
danke, das hat mir richtig gut geholfen. ich hab halt immer probleme mit dem geschickten umformen...hast du da nen tipp wie ich das trainieren kann???:)
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