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Hallo,
vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen.
Bin dabei die vollständige Induktion zu verstehen.
Meine Aufgabe ist Beweise mithilfe der vollständigen Induktion
n * Wurzel n > n + Wurzel n für alle natürlichen Zahlen n >=3.
Induktionsanfang:
Ich habe für n = 3
3 * Wurzel 3 > 3 + Wurzel 3
5,1962 > 4,7321
Die Formel stimmt für n >=3
Induktionsvoraussetzung:
Für ein n Element IN, wobei n >=3 ist, gelte folgende Formel
n * Wurzel n > n + Wurzel n
Induktionsschluss:
Für n setze ich n + 1 ein:
(n + 1) * Wurzel (n + 1) > (n + 1) + Wurzel (n + 1)
So nun hänge ich.
Rein logisch ist es, das Multiplikationen ein größeres Ergebnis bringen.
Also, wie beweise ich richtig.
Ein Gedankengang war, die Wurzel wegzulassen, aber darf man das
so ohne weiteres? Weil dann wäre
(n + 1) * (n + 1) > (n + 1) + (n + 1)
eindeutig.
Wie bekomme ich einen eindeutigen Beweis? Ich raffe das nicht.
Vielen Dank für Infos.
Gruß
Mathi
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 19:02 So 03.04.2005 | | Autor: | Hanna8735 |
Ich bin mir nicht 100%ig sicher aber spontan fällt mir nur das ein:
Weglassen darfst die Wurzel nicht, aber durch quadrieren kannst sie "wegmachen".
(n+1)² * (n+1) > (n+1)² + (n+1)
das jetzt zusammen fassen, auflösen:
n³ + 3n² +3n +1 > n² + 3n +2 (für alle n)
Aber ob das jetzt der komplett vollständige Beweis ist...
Hanna
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Hallo Hanna,
danke für Deine Hilfe. Super.
Oh man, ich habe die Wurzel mit hoch 1/2 weggemacht statt mit hoch2,
wie Du das gemacht hast.
(Werde mich wohl nochmal mit Wurzelrechnung beschäftigne müssen.)
Das, ob das jetzt der komplette Beweis ist, weiß ich leider auch noch nicht.
Wie Du mir schonmal versucht hast "vollständige Induktion" zu erklären hänge ich
leider immer noch. Deswegen dachte ich, ich spiele Aufgaben jetzt durch.
Für diese habe ich auch keine Lösung. Die muss ich selber finden.
So, jetzt habe ich jedenfalls zwei neue Ungleichungen, mit denen ich nicht weiß,
was ich machen soll.
[mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^3 [/mm] + 3n + 1 > [mm] n^2 [/mm] + 3n + 2
Werde jetzt erstmal an die Luft gehen und ein bisschen nachdenken, vielleicht komme ich
dann der Lösung näher.
Schönen Sonntag noch.
Gruß
Mathi
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Hallo Mathi2000,
Das mit dem Quadrieren ist so nicht ganz richtig, denn du hast rechtersteits dann ein Binom:
[mm] $[(n+1)\wurzel{n+1}]^2 [/mm] > [mm] [(n+1)+\wurzel{n+1}]^2$
[/mm]
[mm] $\gdw (n+1)^3 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] + [mm] 2(n+1)\wurzel{n+1} [/mm] + (n+1)$
Das bringt dich nun nicht wirklich weiter.
Ich selbst bin mir nicht ganz sicher, ob es einen einfacherern Weg gibt, aber ich würde erstmal die Induktionsbehauptung umformen:
[mm] $n\wurzel{n}> n+\wurzel{n}$
[/mm]
jetzt die Wurzel raussubtrahieren (also [mm] |-\wurzel{n}):
[/mm]
[mm] $(n-1)\wurzel{n}>n$
[/mm]
[mm] $\gdw \wurzel{n}>\frac{n}{(n-1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw n>\frac{n^2}{(n-1)^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw (n-1)^2>n$
[/mm]
Als Induktionsanfang wählt man nun (nach Aufgabenstellung) [mm] $n_0=3$:
[/mm]
[mm] $(3-1)^2>3 \gdw [/mm] 4>3$ --> somit ist die Induktion verankert.
Als Induktionsbehaupt gilt nun: [mm] $(n-1)^2>n$
[/mm]
Nun der Induktionsschritt: [mm] $n^2 [/mm] > n+1$ ist zu aus [mm] $(n-1)^2>n$ [/mm] zu folgern:
Es ist leicht einzusehen, $-2n+2=2(1-n)$ für n>1, also auch für alle [mm] n>n_0, [/mm] nicht positiv ist. Daher gilt: [mm] $n^2>n^2-2n+2>n+1\gdw (n-1)^2>n$
[/mm]
Versuch doch die beiden anderen Aufgaben mal selbst... oder schreib deine Gedanken dazu auf. Zumindest die erste Ungleichung die du gepostet hast, sieht nicht so schwer aus...
Falls du trotzdem überhaupt nichts hinbekommst, kannst du dich ja nochmal melden.
Gruß Samuel
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Hallo!
Habe gleichzeitig mit Teletubyyy über die Aufgabe nachgedacht und möchte euch meine Antwort nicht vorenthalten (nicht böse sein, Teletubyyy). Ich denke, es geht auch direkt.
> n * Wurzel n > n + Wurzel n für alle natürlichen Zahlen n
> >=3.
>
> Induktionsanfang:
> Ich habe für n = 3
> 3 * Wurzel 3 > 3 + Wurzel 3
> 5,1962 > 4,7321
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Formel stimmt für n >=3
Noch nicht, erst für n=3.
> Induktionsvoraussetzung:
> Für ein n Element IN, wobei n >=3 ist, gelte folgende
> Formel
>
> n * Wurzel n > n + Wurzel n
>
> Induktionsschluss:
>
> Für n setze ich n + 1 ein:
>
> (n + 1) * Wurzel (n + 1) > (n + 1) + Wurzel (n + 1)
Also das wollen wir zeigen.
Jetzt kommt der Induktionsschluss. Und an dieser Stelle bin ich so vorgegangen:
[mm](n+1)\sqrt{n+1}=n\sqrt{n+1} + \sqrt{n+1}[/mm]
[mm] >n\sqrt{n} + \sqrt{n+1}\qquad\mbox{wg. }n+1>n[/mm]
[mm]\mbox{}\qquad>n+\sqrt{n} + \sqrt{n+1}\qquad\mbox{wg. Ind.voraussetzung}[/mm]
[mm]\mbox{}\qquad>n+1 + \sqrt{n+1}\qquad\mbox{wg. }n\ge 3>1[/mm]
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Mathi2000 |
Hallo,
dank' Euch sehr für Eure Hilfe.
Bei Dir Brigitte finde ich gut, das Du mir zeigst was schon richtig ist.
Leider komme ich bei den Wurzelrechnungen nicht ganz mit.
Ist ein kleines Problem bei mir, das ich gerade versuche nachzuholen.
Mitterlweile habe ich einen ganz anderen Ansatz. Der mir relativ logisch
erscheint, obwohl ich da auch an einer Stelle hängen geblieben bin.
Mein neuer Ansatz ist, das ich beide Seiten durch Wurzel (n+1) dividiere und da kann ich auf der linken Seite kürzen und auf der rechten Seite entsteht da leider ein etwas größerer Bruch, den ich noch nicht verstehe zu "optimieren".
Sobald ich weiter bin zeige ich das mal.
Gruß
Mathi
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