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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 So 25.10.2009 | | Autor: | B.Boris |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Summenformel mit Hilfe der Vollständigen Induktion über n (Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen)
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] = n(n+1)(2n+1) /6
Achten Sie insbesondere auf die mathematische korrekte Formulierung von Induktions-Anfang und Induktions-Schluss! |
Hi, ich bin Boris
Das Thema Vollständige Induktion hatte ich bisher noch garnicht, aber dennoch haben wir solch eine aufgabe bekommen, würd mich sehr freuen wenn mir mal jemand etwas unter die Arme greifen könnte.
Gruß Boris
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Hallo Boris,
> Beweisen Sie die folgenden Summenformel mit Hilfe der
> Vollständigen Induktion über n (Summe der Quadrate der
> ersten n natürlichen Zahlen)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm] = n(n+1)(2n+1) /6
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> Achten Sie insbesondere auf die mathematische korrekte
> Formulierung von Induktions-Anfang und
> Induktions-Schluss!
du hast noch nie von vollständiger Induktion gehört, sollst aber die Aufgabe lösen? Ich würde vorschlagen, du informierst dich erstmal: Vollständige Induktion.
Also, das Grundprinzip ist: Du zeigst erstmal die Aussage für n = 1. Das kannst du ja mal machen und hierhin schreiben. (Das ist der "Induktionsanfang").
Nun setzt du voraus, dass die Aussage für die natürliche Zahl n richtig ist ("Induktionsvoraussetzung"). Du setzt nun also voraus, dass [mm] $\summe_{k=1}^{n}k^{2} [/mm] = [mm] \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$ [/mm] richtig ist.
Im "Induktionsschluss" weist du nun unter der Voraussetzung, dass die Aussage für n gilt nach, dass die Aussage auch für n+1 gilt.
Du musst nun also zeigen, dass [mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^{2} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)*((n+1)+1)*(2*(n+1)+1)}{6} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)*(n+2)*(2*n+3)}{6}$ [/mm] ist.
Beginne dazu so:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{2}$
[/mm]
(wir ziehen den n+1-ten Summanden aus der Summe heraus. Nun steht da eine Summe, von der wir von der Induktionsvoraussetzung wissen, wie wir sie auch schreiben können:)
[mm] $\summe_{k=1}^{n}k^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{2} [/mm] = [mm] \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} [/mm] + [mm] (n+1)^{2}$
[/mm]
Nun musst du nur noch zeigen, dass sich dieser Term zu [mm] $\frac{(n+1)*(n+2)*(2*n+3)}{6}$ [/mm] umformen lässt!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 25.10.2009 | | Autor: | flare |
Falls dir das mit der Summe zu abstrakt ist, kann man sich das auch einfacher klarmachen, indem man die einfach auflöst.
[mm] A(n)=1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1) [/mm] /6
[mm] A(n+1)=1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm] /6
Man versucht nun zu zeigen, dass [mm] A(n)\Rightarrow [/mm] A(n+1).
Man geht nun wieder von A(n) aus und versucht durch irgenwelche Addition/Multiplikation auf A(n+1)
In dem Fall sieht man ja, dass A(n+1) auf der linken Seite fast genauso aussieht wie A(n); um von A(n) zu A(n+1) muss man links lediglich [mm] (n+1)^2
[/mm]
addieren.
Da das ja eine Gleichung ist, muss man das auf beiden Seiten addieren.
Also addiert man hier auf der rechten Seite [mm] (n+1)^2 [/mm] und man muss jetzt nurnoch durch umformen zeigen, dass n(n+1)(2n+1) /6 + [mm] (n+1)^2 [/mm] dasselbe ist wie (n+1)(n+2)(2n+3) /6
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 So 25.10.2009 | | Autor: | B.Boris |
Ich brauch noch ein bisschen um da noch reinzusteigen, werde mich sicherlich noch melden, danke schon mal für alles
bis später :)
Boris
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