Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mo 04.01.2010 | | Autor: | mausieux |
Hallo zusammen und frohes neues Jahr. Folgende Frage:
Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] 5^{n}-1 [/mm] ist durch 4 teilbar
Ich habe nachstehende Lösung. Würde aber gerne eine schönere mit eurer Hilfe erhalten.
Zu zeigen: [mm] 5^{n}-1 [/mm] ist durch 4 teilbar
[mm] \bruch{5^{n}-1}{4} [/mm] = a *4
[mm] \gdw 5^{n}-1 [/mm] = 4a a [mm] \in \IN
[/mm]
I I.A.
n = 1
[mm] \gdw 5^{1}-1 [/mm] = 4a
[mm] \gdw [/mm] 4 = 4a /4
[mm] \gdw [/mm] a = 1
II I.S.
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \gdw 5^{n+1}-1 [/mm] = 4b b [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \gdw 5^{n} [/mm] * [mm] 5^{1}-1 [/mm] = 4b
[mm] \underbrace{4}_{durch den Faktor 4 durch 4 teilbar} [/mm] * [mm] 5^{n} [/mm] * [mm] \underbrace{5^{1}-1}_{laut I.V.} [/mm] = 4b
Müsste bei der letzten Zeile nicht dann auch der Faktor 4 stehen. Kennt jemand eine schönere Lösung, evntl auch mit Erklärung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Mo 04.01.2010 | | Autor: | mausieux |
Ich meinte, müsste nicht in der letzten Zeile auf beiden Seiten der Faktor 4 stehen? Also 4 * 4b?
|
|
|
| |
|
Hallo mausieux,
> Hallo zusammen und frohes neues Jahr. Folgende Frage:
>
> Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion. Für
> alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]5^{n}-1[/mm] ist durch 4 teilbar
>
> Ich habe nachstehende Lösung. Würde aber gerne eine
> schönere mit eurer Hilfe erhalten.
>
> Zu zeigen: [mm]5^{n}-1[/mm] ist durch 4 teilbar
>
> [mm]\bruch{5^{n}-1}{4}[/mm] = a *4
>
> [mm]\gdw 5^{n}-1[/mm] = 4a a
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> I I.A.
> n = 1
> [mm]\gdw 5^{1}-1[/mm] = 4a
> [mm]\gdw[/mm] 4 = 4a
> /4
> [mm]\gdw[/mm] a = 1
>
> II I.S.
> n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]\gdw 5^{n+1}-1[/mm] = 4b
> b [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\gdw 5^{n}[/mm] * [mm]5^{1}-1[/mm] =
> 4b
>
> [mm]\underbrace{4}_{durch den Faktor 4 durch 4 teilbar}[/mm] * [mm]5^{n}[/mm]
> * [mm]\underbrace{5^{1}-1}_{laut I.V.}[/mm] = 4b
Was du hier machst, sieht gewaltig verboten aus!
Du kannst doch nicht a*b +c plötzlich zu a*(b+c) umschreiben!
IA ist ja klar. Nun Induktionsschritt:
[mm] $5^{n+1}-1 [/mm] = [mm] 5*5^{n} [/mm] -1 = [mm] 5*5^{n}-5 [/mm] + 4 = [mm] 5*(5^{n}-1) [/mm] + 4$
Der erste Summand ist nach IV durch 4 teilbar, der zweite offensichtlich. Also ist auch die Summe durch 4 teilbar.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
