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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Bezeichne [mm]\varepsilon[/mm] die positive Lösung der quadratischen Gleichung
[mm]x^2-x-1=0[/mm]
Zeigen Siemit vollständiger Induktion, dass gilt [mm]\varepsilon^{n+2}=\varepsilon^{n+1}+\varepsilon^{n}[/mm] für alle natürlichen Zahlen n.
Ist die Induktion unbedingt erforderlich? |
Das stimmt doch garnicht, oder?
wenn ich n=1 einsetze:
[mm]\varepsilon^{3}=\varepsilon^2+\varepsilon[/mm] mehr kann ich ja dann auch nicht zusammen fassen und damit kann ich meinen IA auch nicht zuende machen.
In der Aufgabe steht, dass mann nur wissen muss, dass [mm]\varepsilon[/mm] die positive Lösung der obrigen Gleichung ist.
Ich komm hier nicht weiter. Was übersehe ich??? Bitte um Hilfe!!
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Hallo ella87,
> Bezeichne [mm]\varepsilon[/mm] die positive Lösung der
> quadratischen Gleichung
> [mm]x^2-x-1=0[/mm]
>
> Zeigen Siemit vollständiger Induktion, dass gilt
> [mm]\varepsilon^{n+2}=\varepsilon^{n+1}+\varepsilon^{n}[/mm] für
> alle natürlichen Zahlen n.
> Ist die Induktion unbedingt erforderlich?
> Das stimmt doch garnicht, oder?
>
> wenn ich n=1 einsetze:
>
> [mm]\varepsilon^{3}=\varepsilon^2+\varepsilon[/mm] mehr kann ich ja
> dann auch nicht zusammen fassen und damit kann ich meinen
> IA auch nicht zuende machen.
> In der Aufgabe steht, dass mann nur wissen muss, dass
> [mm]\varepsilon[/mm] die positive Lösung der obrigen Gleichung
> ist.
Nun [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist Lösung von [mm] $x^2-x-1=0$, [/mm] also [mm] $\varepsilon^2=\varepsilon+1$
[/mm]
Nun ist zz: Für alle [mm] $n\in\IN: \varepsilon^{n+2}=\varepsilon^{n+1}+\varepsilon^n$
[/mm]
Für $n=0$: [mm] $\varepsilon^2=\varepsilon+1=\varepsilon^1+\varepsilon^0$
[/mm]
Das stimmt offensichtlich, denn [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist ja gerade so definiert
Für $n=1:$ [mm] $\varepsilon^3=\varepsilon\cdot{}\varepsilon^2=\varepsilon\cdot{}(\varepsilon+1)=\varepsilon^2+\varepsilon^1$
[/mm]
Stimmt also auch.
Nun mache mal den Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ unter der Induktionsvoraussetzung, dass [mm] $\varepsilon^{n+2}=\varepsilon^{n+1}+\varepsilon^n$ [/mm] gilt für beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN, n\ge [/mm] 1$
Gehe vor wie im Falle $n=1$ ...
>
> Ich komm hier nicht weiter. Was übersehe ich??? Bitte um
> Hilfe!!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ella87 |
danke!
ich hab das auch grad gesehen. ich stand irgendwie total auf dem schlauch!
wohl zu viel in den mai gefeiert....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ella87 |
Die Aufgabe geht noch weiter, ist aber umständlich formuliert:
"Schreiben Sie für n=1,...,11 die Potenz [mm]\varepsilon^n[/mm] in der Form [mm]a_n \varepsilon +b_n[/mm] mit natürlichen Zahlen [mm]a_n, b_n[/mm]."
Aber in der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, dass man die quadratische Gleichung nicht Lösen soll, aber wie kommt man dann an die Zahlen?
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Hallo nochmal,
> Die Aufgabe geht noch weiter, ist aber umständlich
> formuliert:
>
> "Schreiben Sie für n=1,...,11 die Potenz [mm]\varepsilon^n[/mm] in
> der Form [mm]a_n \varepsilon +b_n[/mm] mit natürlichen Zahlen [mm]a_n, b_n[/mm]."
>
> Aber in der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, dass man
> die quadratische Gleichung nicht Lösen soll, aber wie
> kommt man dann an die Zahlen?
Na, einfach mal hinschreiben:
Es ist doch [mm] $\varepsilon^2=\varepsilon+1$, [/mm] das hatten wir oben schon, [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist ja Lösung der gegebenen quadr. Gl.
Was ist dann [mm] $\varepsilon^3$?
[/mm]
Doch [mm] $\varepsilon\cdot{}\varepsilon^2=\varepsilon\cdot{}(\varepsilon+1)=\varepsilon^2+\varepsilon=(\varepsilon+1)+\varepsilon=2\varepsilon+1$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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