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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mo 03.05.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aufgaben ist richtig?
(a) [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*k! = (n+1)! +1 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*k! = (n+1)! -1 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Beweisen Sie die richtige Aussagen durch vollständige Induktion. Zeigen Sie, dass sich auch bei der falschen Aussage der Schluss von n auf n+1 durchführen lässt. Warum ist die Aussage dann dennoch falsch? |
Guten!
Ich muss wegen Krankheit ein bisschen was Nachholen und bin gerade bei obiger Aufgabe.
Ich habe mich ein bisschen darüber informiert, wie die vollständige Induktion funktioniert, bin mir aber nicht so sicher dabei, vorallem beim Indktionsschritt. Hier mal mein bisheriger Lösungsweg:
(a) (IA): Zeigen, dass n=1 gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*k! = 1*1!=1 [mm] \not= [/mm] (1+1)!+1=3
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Aussage ist falsch.
(b) (IA): Zeigen, dass n=1 gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*k! = 1*1!=1 = (1+1)!-1=1
(IV): Die Aussage [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*k! = (n+1)! -1 gilt für ein bel., aber festes n [mm] \in \IN [/mm] und für ein n > 1.
(IS): n [mm] \to [/mm] n+1, z.z.: [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k*k! = (n+2)! -1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k*k! [mm] =(\summe_{k=1}^{n} k*k!)+(\summe_{k=n+1}^{n+1} [/mm] k*k!) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*k!+((n+1)(n+1)!)
Jetzt setze ich die Induktionsvoraussetzung ein:
((n+1)! -1) + ((n+1)*(n+1)!) , was ja das Gleiche sein müsste wie das hier: (n+2)!-1
Ich komme nicht mit dem vereinfachen/dem Umformen von ((n+1)!-1)+((n+1)*(n+1)!) zurecht... Vielleicht kann mir mal jemand in ein paar Schritten erklären wie man das am besten macht?:)
Und bei der Teilaufgabe "[...] Zeigen Sie, dass sich auch bei der falschen Aussage der Schluss von n auf n+1 durchführen lässt. Warum ist die Aussage dann dennoch falsch?" weiß ich auch leider garnicht was ich machen muss.
Ist denn Der Beweis bis dahin überhaupt richtig?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Ultio |
> Welche der folgenden Aufgaben ist richtig?
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> (a) [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*k! = (n+1)! +1 für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> (b) [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*k! = (n+1)! -1 für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Beweisen Sie die richtige Aussagen durch vollständige
> Induktion. Zeigen Sie, dass sich auch bei der falschen
> Aussage der Schluss von n auf n+1 durchführen lässt.
> Warum ist die Aussage dann dennoch falsch?
> Guten!
> Ich muss wegen Krankheit ein bisschen was Nachholen und
> bin gerade bei obiger Aufgabe.
> Ich habe mich ein bisschen darüber informiert, wie die
> vollständige Induktion funktioniert, bin mir aber nicht so
> sicher dabei, vorallem beim Indktionsschritt. Hier mal mein
> bisheriger Lösungsweg:
>
> (a) (IA): Zeigen, dass n=1 gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*k! = 1*1!=1 [mm]\not=[/mm] (1+1)!+1=3
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Aussage ist falsch.
>
> (b) (IA): Zeigen, dass n=1 gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*k! = 1*1!=1 = (1+1)!-1=1
>
> (IV): Die Aussage [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*k! = (n+1)! -1 gilt
> für ein bel., aber festes n [mm]\in \IN[/mm] und für ein n > 1.
>
> (IS): n [mm]\to[/mm] n+1, z.z.: [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k*k! = (n+2)! -1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k*k! [mm]=(\summe_{k=1}^{n} k*k!)+(\summe_{k=n+1}^{n+1}[/mm]
> k*k!) = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*k!+((n+1)(n+1)!)
>
> Jetzt setze ich die Induktionsvoraussetzung ein:
>
> ((n+1)! -1) + ((n+1)*(n+1)!) , was ja das Gleiche sein
> müsste wie das hier: (n+2)!-1
>
> Ich komme nicht mit dem vereinfachen/dem Umformen von
> ((n+1)!-1)+((n+1)*(n+1)!) zurecht... Vielleicht kann mir
> mal jemand in ein paar Schritten erklären wie man das am
> besten macht?:)
na dann schau dir die Terme mal an:
((n+1)!-1)+((n+1)*(n+1)!) schreiben wir das mal anders
(n+1)!+(n+1)*(n+1)! -1 --> schon eine Idee?
Ausklammern...richtig
(n+1)! (1+n+1) - 1 und dann folgt die Behauptung.
>
> Und bei der Teilaufgabe "[...] Zeigen Sie, dass sich auch
> bei der falschen Aussage der Schluss von n auf n+1
> durchführen lässt. Warum ist die Aussage dann dennoch
> falsch?" weiß ich auch leider garnicht was ich machen
> muss.
>
> Ist denn Der Beweis bis dahin überhaupt richtig?
>
ja
Und dann fehlt aber die Induktion von a und dann die Aussage warum dieser falsch ist.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 03.05.2010 | | Autor: | stffn |
Vielleicht habe ich heute einfach schon ein bisschen zu viel Mathe gemacht, aber ich komme nicht drauf wie man hierauf kommt:
> na dann schau dir die Terme mal an:
> ((n+1)!-1)+((n+1)*(n+1)!) schreiben wir das mal anders
> (n+1)!+(n+1)*(n+1)! -1 --> schon eine Idee?
> Ausklammern...richtig
> (n+1)! (1+n+1) - 1 und dann folgt die Behauptung.
Und das soll =(n+2)!-1 sein? Wie muss man denn bei der Umformung mit dem !-Zeichen umgehen?
> Und dann fehlt aber die Induktion von a und dann die
> Aussage warum dieser falsch ist.
Aber warum muss ich da noch die Induktion machen, wenn es schon beim Induktionsanfang schief gegangen ist? Naja das ist wahrscheinlich eine Frage die ich eher denjenigen stellen sollte, der sich das ausgedacht hat.
Also ich habe die Induktion da jetzt zwar auch gemacht, aber bin halt immernoch bei der Umformung.
Es ist doch richtig dass das hier: ((n+1)!-1)+((n+1)*(n+1)!) bzw. das hier: ((n+1)!+1)+((n+1)*(n+1)!) umgeformt/verkürzt das hier: (n+2)!-1 bzw. das hier: (n+2)!+1 ergeben muss?
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Hallo stffn!
> > (n+1)!+(n+1)*(n+1)! -1 --> schon eine Idee?
> > Ausklammern...richtig
> > (n+1)! (1+n+1) - 1 und dann folgt die Behauptung.
>
> Und das soll =(n+2)!-1 sein? Wie muss man denn bei der
> Umformung mit dem !-Zeichen umgehen?
Na klar. Es gilt: $1+n+1 \ = \ n+2$
Und:
$$(n+1)!*(n+2) \ = \ (n+2)!$$
> Aber warum muss ich da noch die Induktion machen, wenn es
> schon beim Induktionsanfang schief gegangen ist?
Dies ist halt ein Beispiel einer vermeintlichen Induktion, dass zwar der Induktionsschritt scheinbar passt.
Aber da die Verankerung fehlt (sprich: der Induktionsanfang nicht passt), kann auch die ganze Formel nicht stimmen.
> Es ist doch richtig dass das hier:
> ((n+1)!-1)+((n+1)*(n+1)!) bzw. das hier:
> ((n+1)!+1)+((n+1)*(n+1)!) umgeformt/verkürzt das hier:
> (n+2)!-1 bzw. das hier: (n+2)!+1 ergeben muss?
Es muss am Ende ergeben:
$$... \ = \ (n+2)! \ [mm] \red{-} [/mm] \ 1$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Di 04.05.2010 | | Autor: | stffn |
Danke für die Hilfe!!!
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