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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 10.07.2010 | | Autor: | TaiDa |
| Aufgabe | Zeigen Sie für jedes reelle [mm]x \ge 0[/mm] und natürliches [mm]n > 2[/mm]:
[mm]
(1 + x)^n > \bruch{n^2}{4} x2
[/mm]
Tipp: Binomische Formel! |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo,
Mir macht die genannte Induktion ein paar Probleme.
Mein generelles Problem besteht darin, dass ich häufig nicht weiss, wo ich nun die Induktionsvorraussetzung benutzen muss. Bei Ungleichungen kommt noch hinzu, dass ich nicht ganz sicher bin, WANN ich etwas einsetzen darf, und wie sich die Ungleichung dadurch ändert.
Was mich hier am meisten irritiert ist der Tip, die Binomische Formel zu nutzen.
Hier erstmal mein Ansatz:
Induktionsbehauptung:
[mm](1 + x)^n > \bruch{n^2}{4} x2[/mm]
Induktionsanfang (n=3):
1. [mm] (1 + x)^3 > \bruch{3^2}{4} x2[/mm]
2. [mm] (1 + x)^3 > \bruch{9}{4} x2[/mm]
3. [mm] 1+3x+3x^2+x^3 > \bruch{9}{4} x2[/mm]
Induktionsschritt f. n+1:
[mm](1 + x)^{n+1} > \bruch{(n+1)^2}{4} x2[/mm]
4. [mm](1 + x)^{n}*(1 + x) > \bruch{(n+1)^2}{4} x2[/mm]
(Hier jetzt Binomische Formel anwenden?)
5. [mm]\summe_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k *(1 + x)> \bruch{\summe_{k=0}^{2} {2 \choose k} n^2}{4} x2[/mm]
Ab hier bleibe ich hängen. Sofern dass bis jetzt richtig ist, weiss ich nicht, ob ich nun irgendwo die Induktionsvorraussetzung noch einsetzen muss, oder ob ich einfach ausmultiplizieren soll.
Ein Wink in die richtige Richtung wäre sehr nett.
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Hallo TaiDa und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie für jedes reelle [mm]x \ge 0[/mm] und natürliches [mm]n > 2[/mm]:
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> [mm]
(1 + x)^n > \bruch{n^2}{4} x2
[/mm]
> Tipp: Binomische Formel!
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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> Hallo,
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> Mir macht die genannte Induktion ein paar Probleme.
> Mein generelles Problem besteht darin, dass ich häufig
> nicht weiss, wo ich nun die Induktionsvorraussetzung
> benutzen muss. Bei Ungleichungen kommt noch hinzu, dass ich
> nicht ganz sicher bin, WANN ich etwas einsetzen darf, und
> wie sich die Ungleichung dadurch ändert.
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> Was mich hier am meisten irritiert ist der Tip, die
> Binomische Formel zu nutzen.
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> Hier erstmal mein Ansatz:
>
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> Induktionsbehauptung:
> [mm](1 + x)^n > \bruch{n^2}{4} x2[/mm]
>
> Induktionsanfang (n=3):
> 1. [mm](1 + x)^3 > \bruch{3^2}{4} x2[/mm]
>
> 2. [mm](1 + x)^3 > \bruch{9}{4} x2[/mm]
>
> 3. [mm]1+3x+3x^2+x^3 > \bruch{9}{4} x2[/mm]
>
> Induktionsschritt f. n+1:
>
> [mm](1 + x)^{n+1} > \bruch{(n+1)^2}{4} x2[/mm]
>
> 4. [mm](1 + x)^{n}*(1 + x) > \bruch{(n+1)^2}{4} x2[/mm]
>
> (Hier jetzt Binomische Formel anwenden?)
> 5. [mm]\summe_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k *(1 + x)> \bruch{\summe_{k=0}^{2} {2 \choose k} n^2}{4} x2[/mm]
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> Ab hier bleibe ich hängen. Sofern dass bis jetzt richtig
> ist, weiss ich nicht, ob ich nun irgendwo die
> Induktionsvorraussetzung noch einsetzen muss, oder ob ich
> einfach ausmultiplizieren soll.
> Ein Wink in die richtige Richtung wäre sehr nett.
Induktion brauchst du nicht, die Formel für das allg. Binom reicht.
Die obige Aussage ist ja äquivalent zu [mm] $(1+x)^n-\frac{n^2}{4}x^2 [/mm] \ > \ 0$
Benutze links die Formel:
[mm] $\gdw \sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^k [/mm] \ - \ [mm] \frac{n^2}{4}x^2 [/mm] \ > \ 0$
[mm] $\gdw \underbrace{\left(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\ldots+x^n\right)}_{\text{jeder Summand ist >=0 wegen x>=0}} [/mm] \ - \ [mm] \frac{n^2}{4}x^2 [/mm] \ > \ 0$
Nun musst du nur die Summanden mit [mm] $x^2$ [/mm] vergleichen bzw. verrechnen und zeigen, dass das [mm] $\ge [/mm] 0$ ist.
[mm] $\frac{n(n-1)}{2}x^2-\frac{n^2}{4}x^2=\frac{2n^2-2n-n^2}{4}x^2=\frac{n^2-2n}{4}x^2=\frac{n(n-2)}{4}x^2$
[/mm]
Und das ist $>0$, denn wegen der Voraussetzung $n>2$ ist der Zähler positiv.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Sa 10.07.2010 | | Autor: | TaiDa |
Vielen Dank,
Ich hatte mich anscheinend so darauf konzentriert, das irgendwie mit einer Induktion zu beweisen, dass mir die Idee nicht gekommen ist, das es auch ohne klappen koennte.
Danke fuer die Hilfe :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank,
>
> Ich hatte mich anscheinend so darauf konzentriert, das
> irgendwie mit einer Induktion zu beweisen, dass mir die
> Idee nicht gekommen ist, dass es auch ohne klappen koennte.
> Danke fuer die Hilfe :)
da man meist die binomische Formel selbst per Induktion beweist (man kann dies übrigens auch mithilfe der Kombinatorik), geht hier eigentlich, wenn auch sehr versteckt, durchaus auch die Induktion mit ein. 
Beste Grüße,
Marcel
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