Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 24.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
| Aufgabe | Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] bezeichnet [mm] S_n [/mm] die Summe der ersten n ungeraden Zahlen, also
[mm] S_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k-1)
Zeigen sie Für jesdes n [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] S_n [/mm] = [mm] n^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hatte die vollständige Induktion eine geraume Zeit lang nicht mehr gemacht und hatte es wie Folgt versucht zu beweisen:
I.A.
n=1
[mm] 2*(1)-1=1^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2-1=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1=1
I. Behauptung n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
[mm] n^2 [/mm] + (2(n+1)-1) = [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow n^2+2n+2-1 [/mm] = [mm] n^2+2n+1 \Rightarrow n^2+2n+1 [/mm] = [mm] n^2+2n+1
[/mm]
QED
Ist es von Form und Beweisführung her ausreichend oder muss etwas ergänzt werden um einen ausreichenden Beweiss zu erhalten?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 So 24.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im Induktionsschritt musst du zeigen, dass:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^{2} [/mm]
Dabei darfst du nutzen, dass:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2} [/mm] $
Fang mal so an:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)=\left(\summe_{k=1}^{n}(2k-1)\right)+2(n+1)-1\stackrel{I.V.}{=}n^{2}+2(n+1)-1=\underbrace{n^2+2n+2-1=n^2+2n+1}_{deine Rechnung}=(n+1)^{2} [/mm]
Erkennst du den Unterschied zu deiner Argumentation?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 24.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
Also kann ich icht beides direkt gleich setzen sondern muss das wissen aus dem I.A. nutzen um dann das herzuleiten, was auf der anderen Seite stehen sollte also [mm] (n+1)^2 [/mm] so kann ich beweisen, dass aus dem wissen des I.A. und der weiteren rechnung der Summe tatsächlich sich die gleichsetzung mit [mm] n^2 [/mm] bzw. [mm] (n+1)^2 [/mm] ergibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 24.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also kann ich icht beides direkt gleich setzen sondern muss
> das wissen aus dem I.A. nutzen um dann das herzuleiten, was
> auf der anderen Seite stehen sollte also [mm](n+1)^2[/mm] so kann
> ich beweisen, dass aus dem wissen des I.A. und der weiteren
> rechnung der Summe tatsächlich sich die gleichsetzung mit
> [mm]n^2[/mm] bzw. [mm](n+1)^2[/mm] ergibt.
So ist es.
Du musst zeigen, dass man aus der Induktionsvoraussetzung (die Aussage gilt für ein n) folgern kann, dass die Aussage dann auch für n+1 gilt.
Das, in Kombination mit dem Induktionsanfang reicht dann aus.
Hier also:
Du weisst, die Ausasage gilt für n=1 (ind.Anfang)
Dann zeigst du, dass die Aussage fürn+1 auch gilt.
Wenn die aber für n=1 gilt, gilt sie aich für n=1+1=2, damit auch für n=2+1=3 usw.
Marius
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Ja, das ist meiner Meinung nach ausreichend, wenn man noch zum Schluss schreibt, dass [mm] n^{2} [/mm] + 2.n + 1 = [mm] (n+1)^{2} [/mm] ist, was deine Ausgangsvoraussetzung war.
Man kann die Annahme, dass Sn = [mm] n^{2} [/mm] gilt, in den Schritt von n auf
n + 1 verwenden, wie du das gemacht hast. Es hätte auch gereicht den Schritt von n - 1 auf n zu zeigen, was manchmal einfacher ist.
mfg
kirk
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