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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 So 30.10.2011 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | Zeigen sie durch vollständige Induktion : Für alle n [mm] \varepsilon [/mm] IN gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{3} [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n} k)^{2}
[/mm]
wobei für [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k [mm] =\frac{(n+1)*n}{2} [/mm] gilt!! |
Hab zwar die Aufgabe gelöst weiss aber nicht so ganz ob ich dass so machen kann und vorallem nicht wo meine I.V. ins spiel kommt??
I.A.:
n=1
[mm] 1^3=1=(\frac{(1+1)*1}{2})^2
[/mm]
I.V.:
Gilt für jedes beliebige aber feste n [mm] \varepsilon [/mm] IN
I.S.:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^{3} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] +(n+1)
[mm] (\frac{(n+1)*n}{2})^2+(n+1)^3
[/mm]
[mm] =\bruch{((n+1)*n)^{2}+4(n+1)^{3}}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^2*n^{2}+4(n+1)^2*(n+1)}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^2*(n^{2}+4(n+1))}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^2*(n^{2}+4n+4))}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}
[/mm]
[mm] =(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2})^2=\summe_{k=1}^{n+1} k^{3}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 So 30.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Jule2,
> Zeigen sie durch vollständige Induktion : Für alle n
> [mm]\varepsilon[/mm] IN gilt
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{3}[/mm] = [mm](\summe_{k=1}^{n} k)^{2}[/mm]
> wobei
> für [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k [mm]=\frac{(n+1)*n}{2}[/mm] gilt!!
> Hab zwar die Aufgabe gelöst weiss aber nicht so ganz ob
> ich dass so machen kann und vorallem nicht wo meine I.V.
> ins spiel kommt??
> I.A.:
> n=1
> [mm]1^3=1=(\frac{(1+1)*1}{2})^2[/mm]
>
> I.V.:
> Gilt für jedes beliebige aber feste n [mm]\varepsilon[/mm] IN
Ganz richtig heißt es: Sei die Behauptung bereits für ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] bewiesen. (Dann darf man sie beim Induktionsschritt verwenden.)
> I.S.:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^{3}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3+(n+1)^3 \red{\stackrel{I.V.}{=}}[/mm] <-- Da kommt die I.V. ins Spiel!
>
> [mm](\frac{(n+1)*n}{2})^2+(n+1)^3[/mm]
>
> [mm]=\bruch{((n+1)*n)^{2}+4(n+1)^{3}}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+1)^2*n^{2}+4(n+1)^2*(n+1)}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+1)^2*(n^{2}+4(n+1))}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+1)^2*(n^{2}+4n+4))}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{(n+1)*(n+2)}{2})^2=\red{\summe_{k=1}^{n+1} k^{3}}[/mm]
Am Ende muss doch [mm]\left(\sum_{k=1}^{n+1}k\right)^2[/mm] stehen! Aber du hast bis dahin richtig gerechnet!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 30.10.2011 | | Autor: | Jule2 |
Ja da hast du recht!!
Aber was ich immer noch nicht ganz kapiert habe ist wo ich meine I.V. ins Spiel bringe weil das soll ich dann immer über das Gleichheitszeichen schreiben!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 So 30.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Ja da hast du recht!!
> Aber was ich immer noch nicht ganz kapiert habe ist wo ich
> meine I.V. ins Spiel bringe weil das soll ich dann immer
> über das Gleichheitszeichen schreiben!!!
das hab ich doch oben gemacht!
Allgemein kann man sagen: Wenn du die Behauptung - hier ist das [mm]\sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2[/mm] - verwendest, benutzt du die Induktionsvoraussetzung.
In deinem Fall passiert das hier:
> I.S.:
> [mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^{3} [/mm] = [mm]\blue{ \summe_{k=1}^{n} k^3 }[/mm] +[mm](n+1)^3[/mm]
>
> [mm]\green{ (\frac{(n+1)\cdot{}n}{2})^2}+(n+1)^3 [/mm]
Das blaue wird durch das grüne ersetzt. Eigentlich versuchen wir ja genau das zu zeigen, aber in der I.V. haben wir angenommen, dass die Behauptung für ein bestimmtes [mm]n[/mm] gilt, also etwa genau für das [mm]n[/mm] in der blauen Summe.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 30.10.2011 | | Autor: | Jule2 |
Ok Vielen Dank ich glaube ich habs jetzt auch endlich mal allgemein Begriffen!!
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