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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für [mm]n \in \IN[/mm]: [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^2=\left \bruch{n(2n-1)(2n+1)}{3} \right[/mm] |
Induktionsanfang:
n=1
[mm]\summe_{k=1}^{1}(2k-1)^2=1=\left \bruch{(2-1)(2+1)}{3} \right[/mm]
Das heißt für n=1 gilt das.
Nun für n+1:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^2=\left \bruch{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3} \right[/mm]
Wie beweise ich das aber nun? Ich muss ja n und n+1 irgendwie in "Relation" bekommen, wie genau mache ich das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Du musst die Summe auf der linken Seite deiner Behauptung jetzt so schreiben, dass du sie nur noch von k=1 bis n hast, und das n+1 'te Glied einzeln zu der Summe bis n addierst. Was ist denn jetzt die rechte Seite, wenn du noch die Induktionsvoraussetzung benutzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Wie man die Summe umwandelt weiß ich gar nicht, wie macht man das? Welche Regeln gelten da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Die, die auch für die normale Summation gelten.
(a+b+c+d+e+f)=(a+b+c+d+e)+f
Ein kleiner Hinweis:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2=\summe_{k=1}^{n} k^2 +(n+1)^2 [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Verstehe:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^2=\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^2+(2(n+1)-1)^2[/mm]
Und nun kann die Vorraussetzung
[mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^2=\left \bruch{n(2n-1)(2n+1)}{3} \right[/mm]
einsetzen und erhalte:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^2=\left \bruch{n(2n-1)(2n+1)}{3} \right+(2(n+1)-1)^2[/mm]
Ist das korrekt? Und wenn ja, wie muss ich weiter vorgehen? Hab das ganze mal ausmultipliziert, kommt nichts aussagekräftiges dabei heraus, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^2=\bruch{n(2n-1)(2n+1)+3(2n+1)^2}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)(n(2n-1)+3(2n+1)}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)(2n^2-n+6n+3)}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)(2n^2+3n+2n+3)}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)(n+1)(2n+3)}{3}
[/mm]
qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Verstanden, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich sehe gerade, dass das doch gar nicht passt. In der zweite Zeile fehlt das Quadrat und eigentllich müsste es [mm] 3(2(n+1)-1)^2 [/mm] heißen.
Wenn ich mich nicht irre.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Ich glaube das Quadrat entfällt wegen ausklammern, kann das sein? Eigentlich müsste es genau so richtig sein. Sont schreib noch mal auf, wie dein Beweis jetzt aussieht bitte
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