Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 13.11.2011 | | Autor: | Sesces |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollstandige Induktion, dass die folgende Gleichung fur alle n € N gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i² = [mm] \bruch{n(n + 1)( 2n + 1 )}{6} [/mm] |
Guten Abend,
Mein Problem ist wie folgt, ich weiß nicht genau wie ich diese vollständige Induktion angehen soll bzw am Ende kommt bei mir einfach murks raus....
Der Anfang bei mir ist ja recht einfach und auch gleichzeitig schwer? ( :( ), eine Zahl einsetzen und überprüfen
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 0² = [mm] \bruch{1(1 + 1)( 2 + 1 )}{6} [/mm] = 1 , erste Frage: muss sich das i zu jedem weiteren Wert in n auch um 1 erhöhen? sonst wär das ja falsch was ich geschrieben habe wegen 0².
2. Frage wäre ob meine IV ( Induktionsvorraussetzung ) richtig ist wie ich es formuliert habe : Es gelte [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i² = [mm] \bruch{n(n + 1)( 2n + 1 )}{6} [/mm] für ein beliebiges n € N. reicht dies als Voraussetzung oder muss ich da noch etwas hinzufügen?
3. Frage und die alles entscheidende, der Beweis für n+1 in dem Fall für das nächste n : [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i² = [mm] \bruch{n(n + 1)( 2n + 1 )}{6} [/mm] soll ich da für JEDES n einfach (n+1) einsetzen? sprich es würde dann so aussehen [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i² = [mm] \bruch{(n+1)((n+1) + 1)( 2(n+1) + 1 )}{6} [/mm] ? und der Schritt danach ist mir auch nicht ganz schlüssig wie ich daraus dann den beweis hervorbringen soll.
Ich danke im voraus für die Hilfe.
,Eddy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweisen Sie durch vollstandige Induktion, dass die
> folgende Gleichung fur alle n € N gilt:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] i² = [mm]\bruch{n(n + 1)( 2n + 1 )}{6}[/mm]
> Guten
> Abend,
>
> Mein Problem ist wie folgt, ich weiß nicht genau wie ich
> diese vollständige Induktion angehen soll bzw am Ende
> kommt bei mir einfach murks raus....
>
> Der Anfang bei mir ist ja recht einfach und auch
> gleichzeitig schwer? ( :( ), eine Zahl einsetzen und
> überprüfen
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] 0² = [mm]\bruch{1(1 + 1)( 2 + 1 )}{6}[/mm] = 1
> , erste Frage: muss sich das i zu jedem weiteren Wert in n
> auch um 1 erhöhen? sonst wär das ja falsch was ich
> geschrieben habe wegen 0².
Nein, der Anfang ist n=1, also
[mm] $\summe_{i=0}^{1}i^{2}=1^{2}=1
[/mm]
Und
[mm] $\bruch{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}=1$
[/mm]
>
>
> 2. Frage wäre ob meine IV ( Induktionsvorraussetzung )
> richtig ist wie ich es formuliert habe : Es gelte
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] i² = [mm]\bruch{n(n + 1)( 2n + 1 )}{6}[/mm] für
> ein beliebiges n € N. reicht dies als Voraussetzung
> oder muss ich da noch etwas hinzufügen?
Das ist ok.
>
>
>
> 3. Frage und die alles entscheidende, der Beweis für n+1
> in dem Fall für das nächste n : [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm]
> i² = [mm]\bruch{n(n + 1)( 2n + 1 )}{6}[/mm] soll ich da für
> JEDES n einfach (n+1) einsetzen? sprich es würde dann so
> aussehen [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] i² = [mm]\bruch{(n+1)((n+1) + 1)( 2(n+1) + 1 )}{6}[/mm]
> ? und der Schritt danach ist mir auch nicht ganz
> schlüssig wie ich daraus dann den beweis hervorbringen
> soll.
Zeige, unter der Annahme, dass die Ind-Vorauss. gilt:
[mm] $\summe_{i=0}^{n+1}i^{2}=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$
[/mm]
Dazu fange mal wie folgt an:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}i^{2}
[/mm]
[mm] =(n+1)^{2}+\summe_{i=0}^{n}i^{2}
[/mm]
Mit der Ind-Vorauss.
[mm] =(n+1)^{2}+\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Forme diesen Term nun um, bis du auf folgenden Term kommst.
[mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 13.11.2011 | | Autor: | Sesces |
| Aufgabe | | $ [mm] =(n+1)^{2}+\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] $ |
woher kommt eigentlich bei dem Anfang (n+1) das ² her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Ich ziehe aus der Summe von i=0 nis n+1 den letzten Summanden (i=n+1) heraus.
Also
[mm] \sum_{i=0}^{n+1}i^{2}=\underbrace{0^{2}+1^{2}+\ldots+n^{2}}_{=\sum_{i=0}^{n}i^{2}}+(n+1)^{2}
[/mm]
Dieses Verfahren sollte man sich bei der Induktion über Summen (und Produkte) merken.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 13.11.2011 | | Autor: | Sesces |
| Aufgabe | | $ [mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} [/mm] $ |
Ah verstehe, nurnoch eine kleine letzte Frage zu oben.
hast du am Ende einfach n+1 für das n eingestetzt? und wohin ist das (n+1)² hin?
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Hallo Sesces,
> [mm]\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}[/mm]
> Ah verstehe, nurnoch eine kleine letzte Frage zu oben.
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> hast du am Ende einfach n+1 für das n eingestetzt?
Für das i!!
Die Summe von i=1 bis i=n+1 kannst du doch aufteilen in die Summe von i=1 bis i=1 und den Summanden, der sich für i=n+1 ergibt. (Das ist ja [mm](n+1)^2[/mm])
> und wohin ist das (n+1)² hin?
Hier oben hast du die rechte Seite der im Induktionsschritt zu zeigenden Gleichung stehen, darin tauchen keine quadr. Terme auf.
Auch, wenn es eine Wiederholung ist, schaden kann es nicht.
Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung [mm]\red{\sum\limits_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}[/mm] gefälligst auch gilt:
[mm]\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm]
Dies ist zu zeigen, die rote IV darfst du dabei verwenden:
Nehmen wir die linke Seite her und formen sie so um, dass wir die rote IV anwenden können - wir wollen am Ende die rechte Seite dastehen haben
[mm]\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^2 \ = \ \left[ \ \red{\sum\limits_{i=1}^ni^2} \ \right] \ + \ (n+1)^2[/mm]
Nun kann man die rote IV benutzen und die Summe ersetzen:
[mm]=\red{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} \ + \ (n+1)^2[/mm]
Dies gilt es nun weiter umzuformen, bis schließlich [mm]...=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm] dasteht.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 So 13.11.2011 | | Autor: | Sesces |
Danke für die Hilfe an euch beide.
Gruß
Eddy
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