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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Do 08.12.2011 | | Autor: | per |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass 21 Teiler von 4 ^ (n+1) + 5 ^ (2n-1) ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo forumsmitglieder,
da morgen mittag abgabe ist und ich die letzte aufgabe einfach nicht hinbekommen will, schreib ich sie hier noch einmal kurz rein. vielleicht findet sich der ein oder andere ja, der sie noch zu später stunde beantworten möchte.
also, wie man oben sieht, geht's um vollständige induktion. die induktionsbasis und der anfang mit n=1 ist ja nicht weiter dramatisch. denn
21 = 4 ^ 2 + 5 ^ 1
der induktionsschritt will mir aber nun nicht einleuchten. egal, auf welchen wegen ich umforme, mir will es einfach nicht gelingen, etwas zu erkennen, was für den beweis aussagekräftig ist.
wie gesagt, vielleicht hat der ein oder andere noch die muße, mir zu helfen. vielen dank schon einmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Do 08.12.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo per!
Du musst versuchen auf ein Vielfaches des Ausdruckes [mm]4^{n+1}+5^{2*n-1}[/mm] zu erhalten.
Induktionsschritt mit [mm]n+1_[/mm] :
[mm]4^{n+1+1}+5^{2*(n+1)-1} \ = \ 4^{n+2}+5^{2*n+1} \ = \ 4*4^{n+1}+5^2*5^{2*n-1} \ = \ 4*4^{n+1}+25*5^{2*n-1} \ = \ 4*4^{n+1}+(4+21)*5^{2*n-1} \ = \ 4*4^{n+1}+4*5^{2*n-1}+21*5^{2*n-1} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Fr 09.12.2011 | | Autor: | per |
danke für die schnelle hilfe. auf das umstellen auf die faktoren bin ich auch gekommen, nur mir fehlt irgendwie das ziel, auf dass ich hin arbeiten muss. gewissermaßen: was bringt es mir, die faktoren 'freizulegen'?
bisher habe ich versucht, zu argumentieren, dass es eine natürliche zahl a geben muss, für die dann gilt:
a*21 = 4 ^ n+2 + 5 ^ 2n+1
ich weiß nicht, ob es an der fortgeschrittenen stunde liegt und ich deshalb den eigentlich fokus verloren habe. es mag mir jedoch nicht mehr in den sinn kommen. aber dennoch schon einmal für die wirklich schnelle hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Fr 09.12.2011 | | Autor: | barsch |
Eigentlich hat Loddar dir bereits die Lösung genannt.
Induktionsanfang hast du gezeigt.
Induktionsvoraussetzung (IV): [mm]4^{(n+1)}+5^{(2n-1)}[/mm] ist durch 21 teilbar.
Induktionsschritt: [mm]n\to{n+1}[/mm]
Nehmen wir die Rechnung von Loddar als Ausgangspunkt, dann könnte deine Argumentation so aussehen:
[mm]...=4\cdot{}4^{n+1}+4\cdot{}5^{2\cdot{}n-1}+21\cdot{}5^{2\cdot{}n-1} \ =\underbrace{\underbrace{4*\underbrace{(...)}_{\textrm{nach IV durch 21 teilbar}}}_{\textrm{durch 21 teilbar}}+\underbrace{21*(...)}_{\textrm{durch 21 teilbar}}}_{\textrm{durch 21 teilbar}}[/mm]
Gruß
barsch
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