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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Fr 09.12.2011 | | Autor: | G.Asner |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} k^4= \bruch{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}[/mm] |
Hallo,
ich habe obige Aufgabe zur vollständigen Induktion bekommen und bin leider nicht in der Lage diese zu lösen. Ich bekomme den Ausdruck einfach nicht korrekt umgeformt. Als Hinweis habe ich "geeignet ausmultiplizieren" bekommen. Laut meinem Professor benötigt man für diese Aufgabe ca. 20min für mich Utopie, ich hab mich mit der Aufgabe wirklich schon lange beschäftigt.
Falls sich jemand die Mühe macht die Aufgabe zu lösen wäre ich dem/der jenigen wirklich sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen G.Asner
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo G.Asner,
bei der vollständigen Induktion ist ein Anfang bzw Ansatz meist eigentlich schon sehr zielführend. Überprüfe das Ganze doch mal für $ n = 1, 2 $
Dann kannst du zumindest die Vermutung aufstellen, die Gleichung gelte für bel. $ n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Schaffst du es, den Induktionsschluss $ n [mm] \to [/mm] n+1$ zu konstruieren?
Wenn die Summe links bis $ (n + 1) $ laufen soll, was muss auf der rechten Seite der Gleichung hinzugefügt werden, damit die Gleichheit weiterhin gilt?
Zeig' doch mal, wie weit du damit kommst.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Fr 09.12.2011 | | Autor: | G.Asner |
Guten Abend,
vielen Dank für deine Hilfe. Also für 1 stimmts nur für 2 bekomme ich grad 17 statt 16 raus sagt zumindes der Taschenrechner, kann das sein?
rechts steht dann: $ [mm] \bruch{n+1(n+2)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)}{30} [/mm] $
Mir fehlt halt die Umformerei, dass ich am Schluss wieder aufs selbe komm.
Gruß
G.Asner
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Hi,
vergiss' mal den Taschenrechner. Gerade bei Arithmetik in den natürlichen/ganzen Zahlen ist es doch wunderbar, dass man ohne den Kram auskommt.
$ n = 2 $
$ [mm] \summe_{k=1}^{2} k^4= \bruch{2(2+1)(4+1)(3*2^2+6-1)}{30} [/mm] $
Ich erhalte auf beiden Seiten 17. Rechts kannst du wunderbar kürzen, wenn du dir die ersten drei Klamern ansiehst.
Die Aussage $ A(n) $ gelte also für beliebige $ n [mm] \in \IN [/mm] $.
Induktionsschluss: $ n [mm] \to [/mm] n +1 $
Wir wollen, dass die linke Summe bis $ (n+1)$ läuft, die Aussage (also die Gleichung) aber natürlich nicht verändern.
Wie müssen wir denn die linke Summe verändern, damit die Obergrenze nicht weiter $n $ ist, sondern $ (n+1)$ ? Dasselbe muss dann rechts ebenfalls hinzugefügt werden.
Zeige, dass die Aussage auch für $ (n+1)$ gültig ist.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Fr 09.12.2011 | | Autor: | G.Asner |
Also links steht dann: [mm] \summe_{}^{n}k^4+(n+1)^4
[/mm]
Wie muss ich weiter vorgehen?
Viele Grüße
G.Asner
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Hallo,
> Also links steht dann: [mm]\summe_{}^{n}k^4+(n+1)^4[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie muss ich weiter vorgehen?
Nun, du hast eine Gleichung und links etwas hinzugefügt. Bedenke, dass du die eigentliche Aussage, nämlich die Gleichheit, nicht verändern willst/darfst. Du fügst rechts den selben Summanden hinzu.
Nun beginnt das Umformen.
Ersetze in deiner urpsprünglichen Gleichung jedes $ n $ durch $ n + 1 $ um zu sehen, wie das Ziel aussieht. Bedenke aber, dass dir das nur als Zielführung dienen soll - nicht aber verwendet werden darf als Ergebnis.
Bringe nun deine Gleichung mit den neuen Summanden auf die gesuchte Form.
>
> Viele Grüße
> G.Asner
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:23 Fr 09.12.2011 | | Autor: | G.Asner |
dann hab ich praktisch folgendes: [mm] \bruch{n*(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+n^4+4n^3+6n^2+4n+1
[/mm]
und das form ich solang um bis ich wo angekommen
bin?
Gruß
G.Asner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:30 Fr 09.12.2011 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich hab' das Gefühl, dass Dir nicht ganz klar ist, was der Sinn der vollständen Induktion ist.
Schau mal hier ![[]](/images/popup.gif) Wiki und versuch' die Idee dieser Beweismethode zu verinnerlichen.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 Fr 09.12.2011 | | Autor: | G.Asner |
Hallo,
also forme ich $ [mm] \bruch{n\cdot{}(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+n^4+4n^3+6n^2+4n+1 [/mm] $
nach
$ [mm] \bruch{n+1(n+2)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)}{30} [/mm] $
um? Soweit korrekt?
Nochmal vielen Dank für deine Hilfe
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Fr 09.12.2011 | | Autor: | barsch |
> Hallo,
> also forme ich
> [mm]\bruch{n\cdot{}(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+n^4+4n^3+6n^2+4n+1[/mm]
>
> nach
>
> [mm]\bruch{\red{(}n+1\red{)}(n+2)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)}{30}[/mm]
Ja. Auf die Klammern achten.
>
> um? Soweit korrekt?
> Nochmal vielen Dank für deine Hilfe
> Gruß
Tipp: Im ersten Schritt (n+1) direkt ausklammern:
[mm]\bruch{n\cdot{}(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+(n+1)^4=(n+1)*(...)[/mm]
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 10.12.2011 | | Autor: | G.Asner |
Hallo,
danke für den Ansatz.
$ [mm] \bruch{n\cdot{}(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+(n+1)^4=(n+1)\cdot{}(\bruch{n*(2n+1)*(3n^2+3n-1)}{30}+(n+1)^3) [/mm] $
dann form ich nen halben Tag um aber komm immer noch nicht auf:
$ [mm] \bruch{\black{(}n+1\black{)}(n+2)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)}{30} [/mm] $
Ich wäre wirklich sehr dankbar wenn mir jemand einen Lösungsweg geben könnte. Die Aufgabe treibt mich noch in den Wahnsinn.
Mit besten Hoffnungen
G.Asner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 10.12.2011 | | Autor: | chrisno |
So mit Hinsehen habe ich keine schnelle Idee. Daher schlage ich Dir vor, den langen Weg zu gehen.
[mm]\bruch{n\cdot{}(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+(n+1)^4[/mm]
Das [mm] $(n+1)^4$ [/mm] auf den Bruchstrich hieven. Da bekommt es einen Faktor 30.
Dann multiplizierst Du alles aus.
[mm]\bruch{\black{(}n+1\black{)}(n+2)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)}{30}[/mm]
Auch alles ausmultiplizieren. Dann muss beides mal das Gleiche herauskommen.
Den Bruchstrich und die 30 im Nenner kannst Du natürlich bei der Rechnerrei weglassen.
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