Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 So 15.04.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | [mm] 1+2+...+n=\bruch{1}{2}n(n+1) [/mm] Beweisen sie durch Vollständige Induktion mit [mm] n\ge1 [/mm] |
Ich habe was Wiederholungsbedarf -.-
Also Induktionsanfang: Ich schau mir mal den Definitionsbereich an und setze n=1.
Dabei kommt dann 1=1 raus, also ist das schonmal gegeben.
Danach setze ich für n=(n+1) ein, sodass ich [mm] 1+2+...+n+(n+1)=\bruch{(n+1)^2+(n+1)}{2} [/mm] bekomme?
Also was ich jetzt machen könnte ist auf beiden Seiten mal 2, dann hätte ich
[mm] 2(1+2+...+n)+(n+1)+(n+1)=(n+1)^2+(n+1) [/mm] /-(n+1)
[mm] 2(1+2+...+n)+(n+1)=(n+1)^2
[/mm]
So aber nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 So 15.04.2012 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
der Ansatz sieht doch schon mal gut aus.
Es muss jetzt allerdings gezeigt werden, dass die rechte Seite [mm] \bruch{1}{2}n(n+1)+(n+1) [/mm] ist.
Viele Grüße
Sierra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 So 15.04.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Sierra,
> Hallo,
>
> der Ansatz sieht doch schon mal gut aus.
> Es muss jetzt allerdings gezeigt werden, dass die rechte
> Seite [mm]\bruch{1}{2}n(n+1)+(n+1)[/mm] ist.
Das gilt nach Induktionsvoraussetzung.
Es muss gezeigt werden, dass [mm]\bruch{1}{2}n(n+1)+(n+1)=\bruch{1}{2}*(n+1)*((n+1)+1)[/mm]
Zugegeben, ein einfacher Schritt - aber eben der Entscheidende!
>
> Viele Grüße
> Sierra
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 15.04.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> [mm]1+2+...+n=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm] Beweisen sie durch
> Vollständige Induktion mit [mm]n\ge1[/mm]
> Ich habe was Wiederholungsbedarf -.-
>
> Also Induktionsanfang: Ich schau mir mal den
> Definitionsbereich an und setze n=1.
>
> Dabei kommt dann 1=1 raus, also ist das schonmal gegeben.
das ist der Induktionsanfang.
Induktionsvoraussetzung: Es gilt [mm]1+2+...+n=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm]
> Danach setze ich für n=(n+1) ein, sodass ich
> [mm]1+2+...+n+(n+1)=\bruch{(n+1)^2+(n+1)}{2}[/mm] bekomme?
Nein, im Induktionsschritt [mm]n\to{n+1}[/mm] musst du nun zeigen,
[mm]1+2+...+n+(n+1)=\bruch{1}{2}(n+1)((n+1)+1)[/mm].
So jetzt ist nach Induktionsvoraussetzung [mm]1+2+...+n+(n+1)=\bruch{1}{2}n(n+1)+(n+1)[/mm]
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass [mm]\bruch{1}{2}n(n+1)+(n+1)=\bruch{1}{2}(n+1)((n+1)+1)[/mm]
Das ist ein Schritt - auf den gleichen Nenner bringen und schon steht es da.
>
> Also was ich jetzt machen könnte ist auf beiden Seiten mal
> 2, dann hätte ich
>
> [mm]2(1+2+...+n)+(n+1)+(n+1)=(n+1)^2+(n+1)[/mm] /-(n+1)
> [mm]2(1+2+...+n)+(n+1)=(n+1)^2[/mm]
>
> So aber nun?
Gruß
barsch
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