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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Mo 16.04.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Sei [mm] 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2 [/mm] mit [mm] \IN \ge [/mm] 1 |
Also der Induktionsanfang mit n=1 ist erfüllt.
Danach setze ich n+1 für n ein:
[mm] 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n+(n+1))^2
[/mm]
In wie weit kann ich jetzt zeigen das es erfüllt ist?
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Hallo durden!
Du musst jetzt überhaupt mal den Induktionsnachweis führen; d.h. von der Gültigkeit der Formel für $n_$ auf $n+1_$ schließen.
Beginne im Induktionsschritt wie folgt:
[mm] $\blue{1^3+2^3+3^3+...+n^3} [/mm] \ [mm] +(n+1)^3 [/mm] \ = \ [mm] \blue{(1+2+3+...+n)^2}+(n+1)^3 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] [1+2+3+...+n+(n+1)]^2$
[/mm]
Dabei sind die Pünktchen mittendrin nun durch geeignete Umformungen schrittweise nachzuweisen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mo 16.04.2012 | | Autor: | durden88 |
Klar das habe ich verstanden. So aber nun: Wenn ich die Potenz 2 aus beiden Summanden herausziehe und diese in Klammer vor der gesamten Summe schreiben würde, hätte ich das Endergebnis....ich habe aber so eine Regel bei den Potenzgesetzen noch nicht gefunden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
$ 1+2+...+n= [mm] \bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mo 16.04.2012 | | Autor: | durden88 |
Ok danke, also:
[mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3=[\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)]^2
[/mm]
[mm] \bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}+(n+1)^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}+2*\bruch{n(n+1)}{2}*(n+1)
[/mm]
= [mm] \bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}+(n+1)^3=\bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}+n^3+2n^2+n+(n+1)^2
[/mm]
[mm] =n^3+2n^2+n+n^2+2n+1=n^3+2n^2+n+n^2+2n+1
[/mm]
Also stimmts! So kann ich das machen oder?
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Hallo durden88,
> Ok danke, also:
>
> [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3=[\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)]^2[/mm]
Doch eher [mm]\left[\frac{n(n+1)}2}\right]^2+(n+1)^3[/mm]
Wie hast du das [mm](n+1)^3[/mm] in die Klammer reingezogen?
>
> [mm]\bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}+(n+1)^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}+2*\bruch{n(n+1)}{2}*(n+1)[/mm]
Was ist hier passiert?
Wie kommst du von [mm](n+1)^3[/mm] auf [mm]n(n+1)^2[/mm] ?
Richtig:
[mm]\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4}[/mm]
Dann [mm](n+1)^2[/mm] im Zähler ausklammern ...
[mm]=\frac{(n+1)^2\cdot{}[n^2+4(n+1)]}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2=...[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}+(n+1)^3=\bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}+n^3+2n^2+n+(n+1)^2[/mm]
>
> [mm]=n^3+2n^2+n+n^2+2n+1=n^3+2n^2+n+n^2+2n+1[/mm]
>
> Also stimmts! So kann ich das machen oder?
Da ist zuviel durcheinander ...
Gruß
schachuzipus
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