Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
| Aufgabe 1 | Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die nachfolgende Aussage:
n
Σ k²= [n(n+1)(2n+1)]/6
k=1 |
| Aufgabe 2 | Induktionsanfang: n=1
1² = [1(1+1)+(2*1+1)]/6
1 = 1 |
Hallo ihr,
dies ist mein erster Post, also hoffe ich das alles richtig ist.
Ich hab da ein kleines Problem, ich verstehe die vollständige Induktion nicht ganz. Ich verstehe zwar rein theoretisch was ich mache und warum ich das tue, aber ich bekomme das mit dem Einsetzen nicht ganz so auf die Reihe wie ich das gerne können würde.
Nach dem Induktionsanfang, kommt ja die Induktionsbehauptung also das n=n+1 gesetzt wird. Aber da liegt dann auch schon mein Problem, die linke Seite der Rechnung müsste doch daraufhin [n+1(n+1+1)(2(n+1)+1)]/6 lauten. Aber wie muss die rechte Seite lauten? Und reicht das dann schon als Beweis wenn die beiden Seiten gleich sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Mindfish,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die
> nachfolgende Aussage:
> n
> Σ k²= [n(n+1)(2n+1)]/6
> k=1
> Induktionsanfang: n=1
>
> 1² = [1(1+1)+(2*1+1)]/6
> 1 = 1
> Hallo ihr,
>
> dies ist mein erster Post, also hoffe ich das alles richtig
> ist.
> Ich hab da ein kleines Problem, ich verstehe die
> vollständige Induktion nicht ganz. Ich verstehe zwar rein
> theoretisch was ich mache und warum ich das tue, aber ich
> bekomme das mit dem Einsetzen nicht ganz so auf die Reihe
> wie ich das gerne können würde.
> Nach dem Induktionsanfang, kommt ja die
> Induktionsbehauptung also das n=n+1 gesetzt wird. Aber da
> liegt dann auch schon mein Problem, die linke Seite der
> Rechnung müsste doch daraufhin [n+1(n+1+1)(2(n+1)+1)]/6
> lauten. Aber wie muss die rechte Seite lauten? Und reicht
> das dann schon als Beweis wenn die beiden Seiten gleich
> sind?
>
Zu zeigen ist doch:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}{k^{2}}= \summe_{k=1}^{n}{k^{2}}+\left(n+1\right)^{2}[/mm]
,wobei [mm]\summe_{k=1}^{n}{k^{2}}[/mm] die Induktionsvoraussetzung ist.
Das Ergebnis soll sich wieder in der Gestalt schreiben lassen,
wie die Induktionsvoraussetzung.
Lässt sich das Ergebnis so schreiben,
dann ist damit die Gültigkeit der Formel für alle [mm]n \in \IN[/mm] bewiesen.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
> Hallo Mindfish,
>
>
>
>
>
> > Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die
> > nachfolgende Aussage:
> > n
> > Σ k²= [n(n+1)(2n+1)]/6
> > k=1
> > Induktionsanfang: n=1
> >
> > 1² = [1(1+1)+(2*1+1)]/6
> > 1 = 1
> > Hallo ihr,
> >
> > dies ist mein erster Post, also hoffe ich das alles richtig
> > ist.
> > Ich hab da ein kleines Problem, ich verstehe die
> > vollständige Induktion nicht ganz. Ich verstehe zwar rein
> > theoretisch was ich mache und warum ich das tue, aber ich
> > bekomme das mit dem Einsetzen nicht ganz so auf die Reihe
> > wie ich das gerne können würde.
> > Nach dem Induktionsanfang, kommt ja die
> > Induktionsbehauptung also das n=n+1 gesetzt wird. Aber da
> > liegt dann auch schon mein Problem, die linke Seite der
> > Rechnung müsste doch daraufhin [n+1(n+1+1)(2(n+1)+1)]/6
> > lauten. Aber wie muss die rechte Seite lauten? Und reicht
> > das dann schon als Beweis wenn die beiden Seiten gleich
> > sind?
> >
>
>
> Zu zeigen ist doch:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}{k^{2}}= \summe_{k=1}^{n}{k^{2}}+\left(n+1\right)^{2}[/mm]
>
> ,wobei [mm]\summe_{k=1}^{n}{k^{2}}[/mm] die Induktionsvoraussetzung
> ist.
>
> Das Ergebnis soll sich wieder in der Gestalt schreiben
> lassen,
> wie die Induktionsvoraussetzung.
>
> Lässt sich das Ergebnis so schreiben,
> dann ist damit die Gültigkeit der Formel für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> bewiesen.
Danke für die schnelle Antwort,
aber genau da liegt ja mein Problem, in der Theorie weiß ich ja was ich ausrechnen soll, nur den Weg dahin verstehe ich nicht.
Wie soll ich den auf die Induktionsvorraussetzung kommen?
Muss ich jetzt für k² dann auch n+1 einsetzen?
Oder soll ich dafür eine 1 einsetzen?
>
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}{k^{2}}= \summe_{k=1}^{n}{k^{2}}+\left(n+1\right)^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)*(n+1+1)*(2*(n+1)+1)}{6}=\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+(n+1)^2
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}=\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+(n+1)^2
[/mm]
jetzt Klammern auflösen und noch etwas Bruchrechnung
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Ich glaube ich habs verstanden. Um zu beweisen das die Aussage richtig ist muss ich also den Induktionsschritt gleichsetzen mit der Induktionsvorraussetzung+ Der induktionsbehauptung
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}{k^{2}}= \summe_{k=1}^{n}{k^{2}}+\left(n+1\right)^{2}
[/mm]
Lediglich verstehe ich jetzt noch nicht weshalb (n+1)².
Auf der linken Seite
wird dann also
n+1((n+1)+1)(2(n+1)+1)
6
Mit ausklammern usw komme ich dann auf die rechte seite, also
n(n+1)(2n+1) +(n+1)²
6
|
|
|
| |
|
Hallo Mindfish,
> Ich glaube ich habs verstanden. Um zu beweisen das die
> Aussage richtig ist muss ich also den Induktionsschritt
> gleichsetzen mit der Induktionsvorraussetzung+ Der
> induktionsbehauptung
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}{k^{2}}= \summe_{k=1}^{n}{k^{2}}+\left(n+1\right)^{2}[/mm]
>
> Lediglich verstehe ich jetzt noch nicht weshalb (n+1)².
Um die Induktionsvoraussetzung miteinzubeziehen.
> Auf der linken Seite
> wird dann also
> n+1((n+1)+1)(2(n+1)+1)
> 6
>
> Mit ausklammern usw komme ich dann auf die rechte seite,
> also
> n(n+1)(2n+1) +(n+1)²
> 6
Besser so:
[mm]\bruch{n*\left(n+1\right)*\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^{2}[/mm]
Bringe das mal auf den Hauptnennner
und faktorisiere dann geeignet.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
