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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
Seien [mm] a_{k}, [/mm] k = 1,2,..., beliebige positive reelle Zahlen und n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
[mm] (\summe_{k=1}^{n} a_{k}) (\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{a_{k}}) \ge n^{2}. [/mm] |
Also, ich habe den Induktionsanfang für n = 1 bewiesen und mein Induktionsschritt lautet folgendermaßen, wo ich dann nicht weiterkomme:
[mm] (\summe_{k=1}^{n + 1} a_{k}) (\summe_{k=1}^{n + 1} \bruch{1}{a_{k}}) [/mm] = [mm] ((\summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] + [mm] a_{n + 1}) (\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{a_{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a_{n + 1}}) [/mm]
Zusammengefasst habe ich nun:
[mm] n^{2} [/mm] + [mm] \bruch{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})}{a_{n + 1}} [/mm] + [mm] \bruch{a_{n + 1}}{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})} [/mm] + 1
Laut der anderen Seite der Gleichung, also (n+ [mm] 1)^{2}, [/mm] müsste ich da ja dann [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 stehen haben. Nur weiß ich nicht, wie ich [mm] \bruch{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})}{a_{n + 1}} [/mm] + [mm] \bruch{a_{n + 1}}{(\summe_{k=1}^{n}a_{k})} [/mm] zu 2n zusammenfassen kann.
Kann mir eventuell jemand helfen?
Vielen Dank schon einmal im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Pflaume007,
> Also, ich habe den Induktionsanfang für n = 1 bewiesen und
Zeige zunächst, dass die zu beweisende Formel auch für n = 2 gilt und wähle n = 2 als Induktionsanfang.
> mein Induktionsschritt lautet folgendermaßen, wo ich dann
> nicht weiterkomme:
>
> [mm](\summe_{k=1}^{n + 1} a_{k}) (\summe_{k=1}^{n + 1} \bruch{1}{a_{k}})[/mm]
> = [mm]((\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm] + [mm]a_{n + 1}) (\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{a_{k}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{a_{n + 1}})[/mm]
>
> Zusammengefasst habe ich nun:
>
> [mm]n^{2}[/mm] + [mm]\bruch{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})}{a_{n + 1}}[/mm] +
> [mm]\bruch{a_{n + 1}}{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})}[/mm] + 1
Hoppla, das sollte doch eigentlich heißen:
[mm] n^2 + \bruch{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})}{a_{n + 1}} + a_{n+1}(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{a_{k}}) + 1 [/mm]
> Laut der anderen Seite der Gleichung, also (n+ [mm]1)^{2},[/mm]
> müsste ich da ja dann [mm]n^{2}[/mm] + 2n + 1 stehen haben. Nur
> weiß ich nicht, wie ich [mm]\bruch{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})}{a_{n + 1}}[/mm]
> + [mm]\bruch{a_{n + 1}}{(\summe_{k=1}^{n}a_{k})}[/mm] zu 2n
> zusammenfassen kann.
Ferner gilt:
[mm] \bruch{(\summe_{k=1}^{n} a_{k})}{a_{n + 1}}+a_{n+1}(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{a_{k}}) = (\summe_{k=1}^{n} \bruch{a_{k}}{a_{n + 1}})+(\summe_{k=1}^{n} \bruch{a_{n+1}}{a_{k}}) = (\summe_{k=1}^{n} b_{k}) (\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{b_{k}}) \ge n^{2}[/mm]
mit $ [mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{a_k}{a_{n+1}} [/mm] $
Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt zudem: [mm] $n^2 \ge [/mm] 2n$
Wenn man n = 2 als Induktionsstart gewählt hat, hat man die Aufgabe gelöst.
Schöne Grüße
franzzink
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Das Einsetzen von [mm] b_{k} [/mm] erscheint mir logisch, nur verstehe ich irgendwie Ihren Zusatz "Für n [mm] \ge [/mm] 2 gilt zudem: [mm] n^{2} \ge [/mm] 2n " nicht, was hat das denn damit zu tun?
Aber schon einmal vielen Dank :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mi 17.10.2012 | | Autor: | franzzink |
> Das Einsetzen von [mm]b_{k}[/mm] erscheint mir logisch, nur verstehe
> ich irgendwie Ihren Zusatz "Für n [mm]\ge[/mm] 2 gilt zudem:
> [mm]n^{2} \ge[/mm] 2n " nicht, was hat das denn damit zu tun?
>
> Aber schon einmal vielen Dank :)
Hallo,
was verstehst du an dem "Zusatz" nicht? Warum er gilt oder wie er bei der Lösung der Aufgabe hilft?
Grüße
franzzink
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Wie er denn bei der Lösung der Aufgabe helfen soll?
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Du wolltest doch zeigen, dass folgendes gilt:
$ [mm] (\summe_{k=1}^{n + 1} a_{k}) (\summe_{k=1}^{n + 1} \bruch{1}{a_{k}}) \ge (n+1)^2 [/mm] $
Mit dem "Zusatz" $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt nun:
$ [mm] (\summe_{k=1}^{n + 1} a_{k}) (\summe_{k=1}^{n + 1} \bruch{1}{a_{k}}) [/mm] = ... [mm] \ge n^2 [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + 1 [mm] \ge n^2 [/mm] + 2n + 1 = [mm] (n+1)^2 [/mm] $
Sinn verstanden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Pflaume007 |
Ah, jetzt hat es "klick" gemacht.
Vielen, vielen Dank :)
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