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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Do 25.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion das
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^3= \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] |
Hallo Community,
ich benötige etwas Unterstützung beim berechnen.
Also ich habe mich daran versucht, bin jedoch nicht wirklich auf eine Lösung gekommen.
Induktionsanfang:
[mm] \summe_{k=1}^{1} k^3= \bruch{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} 1^3= \bruch{1^2(1+1)^2}{4}
[/mm]
[mm] 1=\bruch{4}{4}
[/mm]
Induktionsvorraussetzung:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^3= \bruch{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^3= \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}
[/mm]
Induktionsschritt
[mm] (n+1)^3 \summe_{k=1}^{n} k^3= (n+1)^3*\bruch{n^2(n+1)^2}{4}= n^3+4n^2+3n+1* \bruch{n^2(n^2+2n+1)}{4}= n^3+4n^2+3n+1* \bruch{n^4+2n^2+n^2}{4} =\bruch{n^7+6n^6+10n^5+5n^4+5n^3+5n^2}{4}
[/mm]
da mir dies falsch erscheint, habe ich einfach mal mit
[mm] \bruch{(n+1)^2 (n+2)^2}{4}
[/mm]
gerechnet und komme dann auf
[mm] \bruch{n^4+6n^3+11n^2+12n+4}{4}
[/mm]
und jetzt verzweifle ich grad ein wenig.
Ich würde mich über eine schnelle Antwort freuen
MfG
Mindfish
und zu guter Letzt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mindfish,
> Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion das
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3= \bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
>
> Induktionsanfang:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1} k^3= \bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
Hier ist die rechte Seite falsch: was ist n?
> [mm]\summe_{k=1}^{n} 1^3= \bruch{1^2(1+1)^2}{4}[/mm]
Hier ist die linke Seite falsch. Summiert wird [mm] k^3, [/mm] auch wenn k hier ja nur den einen Wert annimmt. Vielleicht meinst Du dies:
[mm] \summe_{k=1}^{1}k^3=1^3\overset{!}{=}\bruch{1^2(1+1)^2}{4}
[/mm]
> [mm]1=\bruch{4}{4}[/mm]
Das ist wahr; n=1 ist also ein geeigneter Induktionsanfang.
> Induktionsvorraussetzung:
daraus, heraus, voraus haben nur ein "r".
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3= \bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
>
> Induktionsbehauptung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^3= \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Induktionsschritt
>
> [mm](n+1)^3 \summe_{k=1}^{n} k^3= (n+1)^3*\bruch{n^2(n+1)^2}{4}= n^3+4n^2+3n+1* \bruch{n^2(n^2+2n+1)}{4}= n^3+4n^2+3n+1* \bruch{n^4+2n^2+n^2}{4} =\bruch{n^7+6n^6+10n^5+5n^4+5n^3+5n^2}{4}[/mm]
Falscher Ansatz! [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3=(n+1)^3\blue{+}\summe_{k=1}^{n}=n^3+\blue{3}n^2+3n+1\blue{+}\bruch{n^2(n+1)^2}{4}=\cdots
[/mm]
Hier gehts doch um eine Summe. Da wird also erst einmal nur addiert, sonst nichts. Daher die blauen Pluszeichen. 
> da mir dies falsch erscheint, habe ich einfach mal mit
> [mm]\bruch{(n+1)^2 (n+2)^2}{4}[/mm]
> gerechnet und komme dann auf
> [mm]\bruch{n^4+6n^3+11n^2+12n+4}{4}[/mm]
> und jetzt verzweifle ich grad ein wenig.
Noch ein Tipp: Ich würde ehrlich gesagt gar nicht so viel ausmultiplizieren. [mm] (n+1)^3+\tfrac{1}{4}n^2(n+1)^2 [/mm] kann man doch viel besser behandeln, wenn man einfach mal [mm] (n+1)^2 [/mm] ausklammert.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Do 25.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Ja, jetzt gehts auch auf =D
Ich bin leider nicht so bewandert was Mathe angeht, deswegen finde ich es meist einfacher alles auszumultiplizieren.
Jetzt muss ich mir nur merken das man addiert und nicht multipliziert.
Vielen Dank reverend
MfG
Mindfish
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