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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo ich soll mittels vollständiger Induktion folgende Gleichung beweisen:
[mm] $(1+x)\* (1+x^2) \* [/mm] ... [mm] \* (1+x^2^n)= \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
[/mm]
Der "induktionsanfang" ist ja einfach.
Aber bei dem "induktionsschritt" komme ich nicht weiter.
Ich bin bis jetzt zu folgender gleichung gekommen:
[mm] $\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} \* 1+x^{2^{n+1}}
[/mm]
Ist es soweit erst einmal richtig?
Aber jetzt komme ich nicht weiter um zu zeigen, dass die Gleichung wahr ist. Kann mir das eventuell jemand vorrechnen?
mfg Duckx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Duckx,
> Hallo ich soll mittels vollständiger Induktion folgende
> Gleichung beweisen:
>
> [mm](1+x)\* (1+x^2) \* ... \* (1+x^2^n)= \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}[/mm]
>
> Der "induktionsanfang" ist ja einfach.
Den hast Du wahrscheinlich bei n=1 gemacht, oder? n=0 würde hier auch gehen. 
> Aber bei dem "induktionsschritt" komme ich nicht weiter.
> Ich bin bis jetzt zu folgender gleichung gekommen:
>
> [mm]$\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} \* 1+x^{2^{n+1}}[/mm]
Hm. Hier stimmt etwas mit unserer Zitierfunktion nicht. In Deinem Post stand es noch lesbar.
Trotzdem stimmt an Deiner Gleichung etwas nicht. Vielleicht postest Du mal die Rechenschritte. Da müsste jetzt stehen:
[mm] \bruch{1-x^{2n+\blue{3}}}{1-x}=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}*(1+x^{2n+\blue{2}})
[/mm]
Also links und rechts ein etwas anderer Exponent, und Klammern fehlten auch noch.
> Ist es soweit erst einmal richtig?
> Aber jetzt komme ich nicht weiter um zu zeigen, dass die
> Gleichung wahr ist. Kann mir das eventuell jemand
> vorrechnen?
> mfg Duckx
Ach, das kriegst Du sicher selbst hin. Das ist auch das viel schönere Erfolgserlebnis. 
Viel Erfolg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Also das ist schon richtig geschrieben :)
denn es heißt zb 1-x^(2^(n+1))
Also n+1 ist der exponent der 2, die den exponenten von x darstellt :)
und nein das bekomme ich leider ganz und garnicht hin :(
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Nochmal hallo,
ah, es ist nur ein TeX-Schreibfehler.
Du meinst [mm] x^{2^{n+1}} [/mm] und nicht [mm] x^{2n+1}. [/mm] Das ist i.a. nicht das gleiche. Klick auf die Terme, dann siehst Du, was ich eingegeben habe.
Dann fehlen Dir doch aber trotzdm noch die Klammern auf der rechten Gleichungsseite!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
achso ok :) aber ich weiß trotzdem nun nicht, wie ich dort vorgehen soll. Kannst du mir evt. lösungsansätze geben oder gleich den Anfang rechnen sodass ich das mal nachvollziehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Induktionsschluss:
Gelte die behauptete Gleichung für ein [mm] $n\in\IN$. [/mm] Zu zeigen ist, dass sie dann auch für $n+1$ gilt, d.h. zu zeigen ist:
$(1+x)* [mm] (1+x^2) [/mm] * ... * [mm] (1+x^{2^{(n+1)}})= \frac{1-x^{2^{(n+1)+1}}}{1-x} [/mm] $.
Verstehe ich dich richtig, dass du bereits eingesehen hast, dass dafür nur
(*) [mm] $\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} [/mm] * [mm] (1+x^{2^{n+1}}) [/mm] $
zu zeigen ist und das Problem nun darin liegt, diese Gleichheit einzusehen?
Nun, starten wir mal mit der rechten Seite von (*). Es gilt:
[mm] $\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} [/mm] * [mm] (1+x^{2^{n+1}})=\frac{(1-x^{2^{n+1}}) (1+x^{2^{n+1}})}{1-x}$.
[/mm]
Wenn wir [mm] $y:=x^{2^{n+1}}$ [/mm] setzen, steht im Zähler des letzten Bruches $(1-y)(1+y)$. Das schreit nach der dritten binomischen Formel!
Kommst du damit ein Stückchen weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Das hilft mir leider nur Minimal weiter weil ich nach der 3ten binomischen Formel wieder nicht weiter komme :(
ich bekomme dann ja [mm] $1-y^2$ [/mm] heraus
Das wär dann also:
$1+ [mm] (x^{2^{(n+1)}})^2 [/mm] $
Diese 2 exponenten verwirren mich so stark, dass ich nciht weiß wie ich dort fortfahren soll.
ist das so viel wie :
[mm] $1+x^{4^{(n+1)}}$?
[/mm]
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Hallo nochmal,
dies ist doch nun einfache Potenzrechnung. Schau Dir nochmal die Potenzgesetze an.
> Das hilft mir leider nur Minimal weiter weil ich nach der
> 3ten binomischen Formel wieder nicht weiter komme :(
> ich bekomme dann ja [mm]1-y^2[/mm] heraus
> Das wär dann also:
> [mm]1+ (x^{2^{(n+1)}})^2[/mm]
Nein. Korrekt ist [mm] 1\blue{-}\left(x^{2^{(n+1)}}\right)^2
[/mm]
> Diese 2 exponenten verwirren mich so stark, dass ich nciht
> weiß wie ich dort fortfahren soll.
>
> ist das so viel wie :
> [mm]1+x^{4^{(n+1)}}[/mm]?
Nein. Wie gesagt, Potenzgesetze!
[mm] \left(x^{2^{(n+1)}}\right)^2=\left(x^{2^{(n+1)}}\right)*\left(x^{2^{(n+1)}}\right)=x^{\left(2^{(n+1)}+2^{(n+1)}\right)}=x^{\left(2*2^{(n+1)}\right)}=x^{2^{n+2}}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
zum größten teil verstehe ich das in etwa :) danke erst einmal
Aber wie hast du den letzten schritt gemacht?
[mm] $x^{\left(2\cdot{}2^{(n+1)}\right)}=x^{2^{n+2}} [/mm] $ ?
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> zum größten teil verstehe ich das in etwa :) danke erst
> einmal
> Aber wie hast du den letzten schritt gemacht?
>
> [mm]x^{\left(2\cdot{}2^{(n+1)}\right)}=x^{2^{n+2}}[/mm] ?
Das ist relativ einfach erklärt [mm] x^{2*2^{n+1}} [/mm] wird aufgrund eines Potenzgesetzes zu [mm] x^{2^{n+2}}
[/mm]
Es könnte genau so gut [mm] x^{2^1*2^n*2^1} [/mm] da stehen.
Da laut Potenzgesetz [mm] a^n+a^m=a^{n*m} [/mm] da man eine Potenz mit gleicher Basis hat. Zieht man also [mm] 2^1*2^n*2^1 [/mm] zusammen, wird daraus [mm] 2^{1+n+1} [/mm] also [mm] 2^{n+2} [/mm] e voilà damit hast du [mm] x^{2^{n+2}}
[/mm]
Ich hoffe das ist verständlich erklärt,
MfG
Mindfish
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