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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 25.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] |
Hallo,
die obige Aufgabe soll ich beweisen, dass diese gilt für alle Natürlichen Zahlen.
Also den Induktionsanfang kann ich. Der sieht so aus:
IA: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1(1+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
Und beim Induktionsschritt komme ich so weit:
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + (n+1) = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + (n+1) = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)(n+1)}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+(n+1)(n+1)}{n+1}...
[/mm]
Und irgendwie komme ich da jetzt nicht mehr weiter... Aber ich weiß ich nicht ob das da oben alles richtig ist?! Bin für jeden Tipp dankbar.
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Di 25.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ali,
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm]
> Hallo,
>
> die obige Aufgabe soll ich beweisen, dass diese gilt für
> alle Natürlichen Zahlen.
>
> Also den Induktionsanfang kann ich. Der sieht so aus:
>
> IA: n=1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1(1+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") passt!
> Und beim Induktionsschritt komme ich so weit:
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] + (n+1) =
Hier ist der Fehler. Du musst so umformen:
[mm]\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\ldots[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 25.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
Habs grad nochmal probiert. Hab einen Lösungsvorschlag:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{(n+1)+1}
[/mm]
q.e.d.
richtig?????
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> Habs grad nochmal probiert. Hab einen Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{n+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{(n+1)+1}[/mm]
>
> q.e.d.
>
> richtig?????
Richtig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 25.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
Kann mir eigentlich mein Prof böse werden wenn ich hier über seine Aufgabe diskutiere?
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> Kann mir eigentlich mein Prof böse werden wenn ich hier
> über seine Aufgabe diskutiere?
Naja, nun hast du es eh schon getan ... 
Und unter Professoren sind jene, die auch hier in den
Matheraum reingucken, wohl auch eher eine Minderheit.
Diejenigen Profs, die es trotzdem tun, werden wohl
auch schon begriffen haben, dass das hier jedenfalls
im Grunde eine gute Sache ist ...
LG, Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Di 25.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
ok cool. danke
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