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| Aufgabe | | Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist [mm] (n+1)^2 [/mm] - (n+1) |
Hallo,
Ich möchte diese Aufgabe mithilfe der vollständigen Induktion lösen.
Ich schreibe nun mal nicht den ganzen Teil davor hin sondern nur wo ich nun hänge.
Im Endeffekt bin ich jetzt beim Beweis.
Ich hoffe es reicht wenn ich den Teil hinschreibe, ansonsten gerne einfach melden :)
Bin gerade hier:
[mm] (k+1)^2 [/mm] - (k+1) + 2(k+1) = (IA) [mm] ((k+1)+1)^2 [/mm] - ( ( k +1 ) +1 )
Im Prinzip fällt ja dann das -(k+1) auf der linken Seite weg also es müsste dort stehen
[mm] (k+1)^2 [/mm] + (k+1) = ...
Ich hoffe mir kann jemand helfen... habe heute den ganzen Tag gelernt kann auch sein dass ich einfach gerade langsam blind werde :D
Über einen Tipp würde ich mich freuen wie ich nun weiter vorgehen kann.
Dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist [mm](n+1)^2[/mm] - (n+1)
> Hallo,
>
> Ich möchte diese Aufgabe mithilfe der vollständigen
> Induktion lösen.
ich gebe Dir trotzdem mal einen alternativen Lösungsweg, für anderes habe
ich gerade keine Zeit:
Es gilt
[mm] $$\text{Summe der ersten n geraden Zahlen}=\sum_{k=1}^n (2k)=2*\sum_{k=1}^n k=2*\frac{n}{2}(n+1)=n*(n+1)\,,$$
[/mm]
wegen des kleinen Gauß.
Und es ist halt
[mm] $$(n+1)^2-(n+1)=(n+1)*\Big((n+1)-1\Big)=(n+1)*n=n*(n+1)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Bin gerade hier:
>
> [mm](k+1)^2[/mm] - (k+1) + 2(k+1) = (IA) [mm]((k+1)+1)^2[/mm] - ( ( k +1 ) +1 )
>
> Im Prinzip fällt ja dann das -(k+1) auf der linken Seite
> weg also es müsste dort stehen
> [mm](k+1)^2[/mm] + (k+1) = ...
Wenn ich dich richtig verstehe, soll auf der linken Seite die bisherige Summe bis 2k in Form der zu beweisenden Formel (Induktionsvoraussetzung) plus dem nächsten Glied stehen, auf der rechten Seite aber die Formel für die Summe bis 2(k+1), und du weißt nicht, ob die Gleichung stimmt.
Falls das so ist:
Ja, du bist fertig, hast alles richtig gemacht, die linke und die rechte Seite stimmen überein.
Rechne die rechte Seite mit der bin. Formel teilweise aus:
[mm]((k+1)+1)^2 - ( ( k +1 ) +1 ) = (k+1)^2 + 2*(k+1)+1 -(k+1)-1[/mm]
Dabei habe ich in der ersten Klammer [mm] ((k+1)+1)^2 [/mm] die bin. Formel auf die beiden Summanden (k+1) und 1 angewandt, aber die Klammer (k+1) nicht aufgelöst. Bei - ( ( k +1 ) +1 ) habe ich die "Minusklammer" aufgelöst, aber wieder (k+1) beibehalten.
Im letzten Schritt kannst du nun die beiden einzelnen 1-en verrechnen und erhältst [mm] (k+1)^2 [/mm] + [mm] 2*(k+1)-(k+1)=(k+1)^2 [/mm] -(k+1)+ 2*(k+1)= linke Seite der Ausgangsgleichung.
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Vielen Dank!
Ich werde mir das morgen früh nochmal in Ruhe alles anschauen.
Danke dass du dir dafür Zeit genommen hast.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist [mm](n+1)^2[/mm] - (n+1)
> Hallo,
>
> Ich möchte diese Aufgabe mithilfe der vollständigen
> Induktion lösen.
>
> Ich schreibe nun mal nicht den ganzen Teil davor hin
> sondern nur wo ich nun hänge.
> Im Endeffekt bin ich jetzt beim Beweis.
>
> Ich hoffe es reicht wenn ich den Teil hinschreibe,
> ansonsten gerne einfach melden :)
>
> Bin gerade hier:
>
> [mm](k+1)^2[/mm] - (k+1) + 2(k+1) = (IA) [mm]((k+1)+1)^2[/mm] - ( ( k +1 )
> +1 )
>
> Im Prinzip fällt ja dann das -(k+1) auf der linken Seite
> weg also es müsste dort stehen
> [mm](k+1)^2[/mm] + (k+1) = ...
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen... habe heute den ganzen
> Tag gelernt kann auch sein dass ich einfach gerade langsam
> blind werde :D
>
ich würde Dir übrigens als erstes mal den Tipp geben, das ganze auch
hinzuschreiben. 
Summe der ersten [mm] $n\,$ [/mm] geraden Zahlen$= [mm] 2+4+...+2n=\sum_{k=1}^n (2k)\,.$
[/mm]
Behauptung: [mm] $2+4+...+(2n)=(n+1)^2-(n+1)\,.$
[/mm]
bzw. alternativ
[mm] $$\sum_{k=1}^n (2k)=(n+1)^2-(n+1)\,.$$
[/mm]
Die Alternative Schreibweise mit dem Summenzeichen überlasse ich der
Übung wegen erstmal Dir - ich benutze also erstmal nur
"Pünktchen"-Notation.
Induktionsanfang ($n=1$):
Es ist zu prüfen, ob [mm] $2=(1+1)^2-(1+1)$ [/mm] gilt. Wegen [mm] $(1+1)^2-(1+1)=4-2=2$ [/mm] ist das klar.
$n [mm] \to [/mm] n+1$:
Klar ist, dass [mm] $2+4+...+(2n)+(2*(n+1))=(n+1)^2-(n+1)+2*(n+1)$ [/mm] gilt,
wenn wir die I.A. anwenden.
Zu zeigen ist nun also, dass
[mm] $$(n+1)^2-(n+1)+2*(n+1)=(\red{(n+1)}+1)^2-(\red{(n+1)}+1)$$
[/mm]
gilt. Und prinzipiell wurde ja gesagt, wie das geht.
Nur: Bei Dir heißt das [mm] $n\,$ [/mm] halt [mm] $k\,.$ [/mm] Ich schreibe nicht [mm] $k\,,$ [/mm] weil ich
[mm] $k\,$ [/mm] auch in der Summennotation als Laufvariable benutze.
Was ich eigentlich sagen will: Schreibe nicht nur, wo Du "hängst", sondern
auch, wie Du zu der Stelle gekommen bist. Wenigstens andeuten hättest
Du das können - denn wie sollten wir sonst (Rechen-)Fehler finden, wenn
Du sie an einer Stelle begangen hast, die wir uns nicht angucken können?
Gruß,
Marcel
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