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| Aufgabe | Schreiben Sie die folgende Summe mit Summenzeichen und beweisen Sie die aufgestellte Behauptung mit vollständiger Induktion.
1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n(n+1) = [mm] \bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm] |
Hallo, ich habe Probleme, bei der oben genannten aufgabe, und hoffe, dass mir jmd. helfen kann.
Das Summenzeichen sieht bei mir so aus:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i(i+1)
- Dazu schon meine 1. Frage: muss i=0 sein bei der vollst. Induktion? Dann wär das ja
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] (i+1)(i+1+1)
Aber wenn ich jetzt das 1. Summenzeichen betrachte, rechne ich beide seiten aus. Einmal für i=1 und einmal für n=1 :
1(1+1) = [mm] \bruch{1(1+1)(1+2)}{3} [/mm] => WA!
und jetzt muss ich doch gucken, ob das für n+1 auch gilt... aber da kommt glaub ich mein Problem :\
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i(i+1)
da kann ich ja jetzt das letzte Glied abspalten...
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i(i+1) + n+1( n+1+1)
und der vordere ausdruck muss jetzt gleich der rechten seite sein, also dem bruch, nur wurde n+1 eingesetzt???
= [mm] \bruch{n+1(n+1+1)(n+1+2)}{3} [/mm]
und das muss dann theoretisch ...
= [mm] \bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm]
... sein
Mich verwirrt das echt totl. Vor Allem sind die Brüche doch nicht gleich?! ich hoffe mir kann jmd helfen...
Danke!!!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo happyhippo,
> Schreiben Sie die folgende Summe mit Summenzeichen und
> beweisen Sie die aufgestellte Behauptung mit vollständiger
> Induktion.
>
> 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n(n+1) = [mm]\bruch{n(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
> Hallo, ich habe Probleme, bei der oben genannten aufgabe,
> und hoffe, dass mir jmd. helfen kann.
>
> Das Summenzeichen sieht bei mir so aus:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i(i+1)
Richtig!
>
> - Dazu schon meine 1. Frage: muss i=0 sein bei der vollst.
> Induktion? Dann wär das ja
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] (i+1)(i+1+1)
Nein, i muss nicht 0 sein! Und diese Summe hat auch einen anderen Wert. Der letzte Summand ist hier $(n+1)*(n+2)$ und nicht $n*(n+1)$ wie in der Aufgabe.
>
> Aber wenn ich jetzt das 1. Summenzeichen betrachte, rechne
> ich beide seiten aus. Einmal für i=1 und einmal für n=1
> :
> 1(1+1) = [mm]\bruch{1(1+1)(1+2)}{3}[/mm] => WA!
Wenn ich das richtig interpretiere, versuchst Du, die Formel mit Induktion nach $n$ zu beweisen. Und hier hast Du den Induktionsanfang erledigt. Deine Ausführungen wäre verständlicher, wenn Du dies andeuten würdest. Wie auch immer, bis jetzt ist alles richtig!
>
> und jetzt muss ich doch gucken, ob das für n+1 auch
> gilt... aber da kommt glaub ich mein Problem :\
Ja, das sehe ich auch so. Im Induktionsschritt mußt Du die Formel für (n+1) zeigen (dies ist die Induktionsbehauptung), unter der Voraussetzung, daß die Formel für n gilt (dies ist die Induktionsvoraussetzung).
Schreibe doch mal die Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung auf. Und rechne drauf los. Das heißt ersetze die drei Punkte, bis Du die rechte Seite der Induktionsbehauptung da stehen hast.
[mm] $\sum_{i=1}^{n+1} [/mm] i*(i+1) = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i*(i+1) + (n+1)*(n+2) = [mm] \ldots [/mm] $
Gruß,
Wolfgang
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