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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 16.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo, die Aufgabe ist: Zeigen Sie, dass der Ausdruck [mm] A_{n} [/mm] = [mm] 11^{n+2} [/mm] + [mm] 12^{2n+1} [/mm] für jede beliebige natürliche Zahl n durch 133 teilbar ist. Heinweis: Zeigen Sie zunächst durch vollständige Induktion: [mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] 11A_{n} [/mm] + 133 * [mm] 12^{2n+1} [/mm]
So, bis jetzt hab ich:
Beweis für [mm] A_{n+1} [/mm] ist Nachfolger von [mm] A_{n}
[/mm]
IA: n = 1 -> [mm] A_{1} [/mm] = 3059 -> durch 133 teilbar
IS: [mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] 11^{(n+1)+2} [/mm] + [mm] 12^{2(n+1)+1}
[/mm]
= [mm] 11^{n+2} [/mm] * 11 + [mm] 12^{2n+1} [/mm] * 144
= [mm] 11(11^{n+2} [/mm] + [mm] 12^{2n+1}) [/mm] + 133 * [mm] 12^{2n+1}
[/mm]
= [mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] 11A_{n} [/mm] + 133 * [mm] 12^{2n+1}
[/mm]
Sooo, ist das soweit richtig? Und wie muss man denn jetzt überhaupt weitermachen?!
Danke schön =)
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Hallo Phoebe!
> Hallo, die Aufgabe ist: Zeigen Sie, dass der Ausdruck [mm]A_{n}[/mm]
> = [mm]11^{n+2}[/mm] + [mm]12^{2n+1}[/mm] für jede beliebige natürliche Zahl n
> durch 133 teilbar ist. Heinweis: Zeigen Sie zunächst durch
> vollständige Induktion: [mm]A_{n+1}[/mm] = [mm]11A_{n}[/mm] + 133 * [mm]12^{2n+1}[/mm]
>
> So, bis jetzt hab ich:
> Beweis für [mm]A_{n+1}[/mm] ist Nachfolger von [mm]A_{n}[/mm]
> IA: n = 1 -> [mm]A_{1}[/mm] = 3059 -> durch 133 teilbar
> IS: [mm]A_{n+1}[/mm] = [mm]11^{(n+1)+2}[/mm] + [mm]12^{2(n+1)+1}[/mm]
> = [mm]11^{n+2}[/mm] * 11 + [mm]12^{2n+1}[/mm] * 144
> = [mm]11(11^{n+2}[/mm] + [mm]12^{2n+1})[/mm] + 133 *
> [mm]12^{2n+1}[/mm]
> = [mm]A_{n+1}[/mm] = [mm]11A_{n}[/mm] + 133 *
> [mm]12^{2n+1}[/mm]
>
> Sooo, ist das soweit richtig?
Top! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Und wie muss man denn jetzt
> überhaupt weitermachen?!
Du bist doch schon fast fertig! Denn [mm]A_{n+1}[/mm] ist ja nach obiger Rechnung und Induktionsschluss wieder durch 133 teilbar:
[mm]\bruch{A_{n+1}}{133}=\bruch{11*A_n}{133}+\bruch{133*12^{2n+1}}{133}=(nach IV)=11*a+12^{2n+1}[/mm] wobei [mm]a \in \IN[/mm] nach Induktionsvoraussetzung.
mfg
Daniel
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