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Vollständige Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Do 31.10.2013
Autor: Ymaoh

Aufgabe
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

(i) Die Bernoullische Ungleichung: für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] -1 und
für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
(1 + [mm] x)^n \ge [/mm] 1+ nx

Also, ich habe zunächst 1 für n eingesetzt, um die Ungleichung für ein n zu beweisen. Also habe ich die Induktionsvorraussetzung.

Dann muss ich die Ungleichung für n+1 bilden, also:

[mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+ (n+1)x

Hab dann erstmal umgeformt zu:

[mm] (1+x)^n [/mm] * (1+x) [mm] \ge [/mm] 1+nx+x

...damit ich den bekannten Term [mm] (1+x)^n [/mm] auf der linken Seite hab.
Aber jetzt weiß ich nicht weiter, Ich muss ja hier irgendwie noch die
Induktionsvorrausetzung "anwenden"

Wäre über einen Tipp sehr dankbar...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Do 31.10.2013
Autor: Fulla

Hallo Ymaoh,

[willkommenmr]

> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

>

> (i) Die Bernoullische Ungleichung: für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit
> x [mm]\ge[/mm] -1 und
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> (1 + [mm]x)^n \ge[/mm] 1+ nx
> Also, ich habe zunächst 1 für n eingesetzt, um die
> Ungleichung für ein n zu beweisen. Also habe ich die
> Induktionsvorraussetzung.

>

> Dann muss ich die Ungleichung für n+1 bilden, also:

>

> [mm](1+x)^{n+1} \ge[/mm] 1+ (n+1)x

Diese Ungleichung musst du beweisen.

> Hab dann erstmal umgeformt zu:

>

> [mm](1+x)^n[/mm] * (1+x) [mm]\ge[/mm] 1+nx+x

>

> ...damit ich den bekannten Term [mm](1+x)^n[/mm] auf der linken
> Seite hab.
> Aber jetzt weiß ich nicht weiter, Ich muss ja hier
> irgendwie noch die
> Induktionsvorrausetzung "anwenden"

Fang mit der linken Seite an, forme um und verwende die Induktionsvoraussetzung:
[mm](1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)\stackrel{I.V.}{\ge}(1+nx)*(1+x)=\ldots\ge 1+(n+1)x[/mm]

Wo die Pünktchen stehen ist noch ein kleiner Schritt nötig.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Do 31.10.2013
Autor: Ymaoh

Vielen Dank, damit komm ich weiter....        :)
Ist ein super Forum hier, eine große Hilfe fürs Studium :)

Bezug
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