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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 17.11.2013 | | Autor: | flo1191 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl $n$ gilt:
a) 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 2 + 2 [mm] \cdot [/mm] 3 + ... + n(n + 1) = [mm] \frac{n(n+1)(n+2)}{3}.
[/mm]
b) [mm] n^5 [/mm] - n ist durch 5 teilbar. |
Hallo liebe Helfer =)
Ich habe mich leider bei Aufgabe a) etwas verrannt, fürchte ich.. Kann mich jemand eventuell wieder auf den richtigen Weg bringen? Und eventuell auch noch einen Tipp geben, ob mein "Beweis" bei Aufgabe b) so ausreichend ist?
Folgendes habe ich bereits:
[mm] \section{Aufgabe 2a}
[/mm]
Zu Beweisen: [mm] 0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}
[/mm]
[mm] Induktionsanfang:\\
[/mm]
Für $n=1$ ist [mm] 0\cdot1+1\cdot2=\frac{1(1+1)(1+2)}{3} \rightarrow 2=\frac{6}{3} \\
[/mm]
[mm] Induktionsvoraussetzung:\\
[/mm]
0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 2 + 2 [mm] \cdot [/mm] 3 + ... + n(n + 1) = [mm] \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} \\
[/mm]
[mm] Induktionsbehauptung:\\
[/mm]
IV gilt auch für [mm] (n+1)\\
[/mm]
[mm] Induktionsschritt:\\
[/mm]
[mm] 0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+...+(n+1)(n+2)
[/mm]
= [mm] \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}
[/mm]
= [mm] \frac{n^3+3n^2+2n^2+6n+n^2+2n+3n+6}{3}
[/mm]
= [mm] \frac{n^3+6n^2+11n+6}{3}
[/mm]
... und hier hänge ich dann, wie muss ich nun weitermachen? :-(
[mm] \section{Aufgabe 2b}
[/mm]
Zu Beweisen: Aussage: [mm] n^5-n [/mm] ist durch 5 teilbar.
Induktionsanfang: [mm] \\
[/mm]
Für $n=0$ ist [mm] 0^5-0=0.\\
[/mm]
[mm] Induktionsvoraussetzung:\\
[/mm]
[mm] n^5-n [/mm] ist durch 5 [mm] teilbar.\\
[/mm]
[mm] Induktionsbehauptung:\\
[/mm]
[mm] (n+1)^5- [/mm] (n+1) ist auch durch 5 [mm] teilbar.\\
[/mm]
[mm] Induktionsschritt:\\
[/mm]
[mm] (n+1)^5 [/mm] - (n+1) [mm] \\
[/mm]
= [mm] n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1\\
[/mm]
= [mm] \uuline{(n^5-n) + 5(n^4+2n^3+2n^2+n)}\\
[/mm]
Eine Summe ist durch 5 teilbar, wenn deren Summanden durch 5 teilbar sind. In diesem Fall
gilt das für den linken Summanden gemäß IV und für den rechten Summanden o ffensichtlich
auch.
Lg & Danke schonmal =)
p.s.Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 So 17.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
dein obiger Dateianhang wurde wegen falscher Angaben zur Urheberschaft gemäß unseren Forenregeln zum Schutz des Vereins vorhilfe.de (dem Betreiber dieses Angebotes) gesperrt.
Bitte lade hier nur eigene Werke hoch und mache wahrheitsgemäße Angaben zur Urheberschaft. Nur durch Scannen/Kopieren/Screenshot wird man nicht zum Urheber.
In diesem Fall tippe bitte die Aufgaben hier ab.
EDIT: Das hat sich erledigt, es war ein Missverständnis. Ich entschuldige mich dafür!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 So 17.11.2013 | | Autor: | flo1191 |
Guten Tag,
der Anhang ist ein Screenshot meiner LaTeX-Ausarbeitung.
Ich habe nochmals zum Beweis meinen Nutzernamen in den Titel mit reingeschrieben und hoffe, dass das so okay ist?
Leider übernimmt Ihr Portal die Formatierung nicht korrekt aus Latex (Arrays etc)....
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 So 17.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
wie wäre es, wenn du so fit in LaTeX bist, das hier selbst einzutippen? So erschwerst du jedem Helfer die Arbeit enorm, da man dich nicht zitieren kann.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 17.11.2013 | | Autor: | flo1191 |
Das hatte ich nicht bedacht, sorry, kümmere mich drum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 So 17.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Das hatte ich nicht bedacht, sorry, kümmere mich drum.
das wäre sicherlich das beste. Bei der Freigabe deines zweiten Anhangs ist nämlich ein technisches Problem aufgetreten, so dass es sein kann, dass das noch ein wenig dauert.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jede
> natürliche Zahl [mm]n[/mm] gilt:
> a) 0 [mm]\cdot[/mm] 1 + 1 [mm]\cdot[/mm] 2 + 2 [mm]\cdot[/mm] 3 + ... + n(n + 1)
> = [mm]\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.[/mm]
>
> b) [mm]n^5[/mm] - n ist durch 5 teilbar.
>
>
> Hallo liebe Helfer =)
>
> Ich habe mich leider bei Aufgabe a) etwas verrannt,
> fürchte ich.. Kann mich jemand eventuell wieder auf den
> richtigen Weg bringen? Und eventuell auch noch einen Tipp
> geben, ob mein "Beweis" bei Aufgabe b) so ausreichend ist?
>
> Folgendes habe ich bereits:
>
> [mm]\section{Aufgabe 2a}[/mm]
> Zu Beweisen:
> [mm]0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \forall[/mm]
> n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
>
> [mm]Induktionsanfang:\\[/mm]
> Für [mm]n=1[/mm] ist [mm]0\cdot1+1\cdot2=\frac{1(1+1)(1+2)}{3} \rightarrow 2=\frac{6}{3} \\[/mm]
>
> [mm]Induktionsvoraussetzung:\\[/mm]
> 0 [mm]\cdot[/mm] 1 + 1 [mm]\cdot[/mm] 2 + 2 [mm]\cdot[/mm] 3 + ... + n(n + 1) =
> [mm]\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N} \\[/mm]
>
> [mm]Induktionsbehauptung:\\[/mm]
> IV gilt auch für [mm](n+1)\\[/mm]
>
> [mm]Induktionsschritt:\\[/mm]
>
> [mm]0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+...+(n+1)(n+2)[/mm]
>
>
> = [mm]\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}[/mm]
>
> = [mm]\frac{n^3+3n^2+2n^2+6n+n^2+2n+3n+6}{3}[/mm]
>
> = [mm]\frac{n^3+6n^2+11n+6}{3}[/mm]
>
> ... und hier hänge ich dann, wie muss ich nun
> weitermachen? :-(
Fange vom Ziel "Rückwärts" an.
[mm] \green{0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+\ldots+(n-1)n+n(n+1)}+(n+1)(n+2)
[/mm]
Auf den grün markierten teil kannst du nun die Ind.-Vorauss. anwenden, also
[mm] \green{0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+\ldots+(n-1)n+n(n+1)}+(n+1)(n+2)
[/mm]
[mm] =\green{\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{3}}+(n+1)(n+2)
[/mm]
Nun, mit ein bisschen Bruchrechnung:
[mm] \frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)
[/mm]
[mm] =\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{3}+\frac{3(n+1)(n+2)}{3}
[/mm]
[mm] =\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}
[/mm]
Wenn du jetzt den Zähler zusammenfasst, sollte
[mm] \frac{n^{3}+6n^{2}+11n+6}{3} [/mm] herauskommen.
>
> [mm]\section{Aufgabe 2b}[/mm]
>
> Zu Beweisen: Aussage: [mm]n^5-n[/mm] ist durch 5 teilbar.
>
> Induktionsanfang: [mm]\\[/mm]
> Für [mm]n=0[/mm] ist [mm]0^5-0=0.\\[/mm]
>
> [mm]Induktionsvoraussetzung:\\[/mm]
> [mm]n^5-n[/mm] ist durch 5 [mm]teilbar.\\[/mm]
>
> [mm]Induktionsbehauptung:\\[/mm]
> [mm](n+1)^5-[/mm] (n+1) ist auch durch 5 [mm]teilbar.\\[/mm]
>
> [mm]Induktionsschritt:\\[/mm]
> [mm](n+1)^5[/mm] - (n+1) [mm]\\[/mm]
> = [mm]n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1\\[/mm]
> = [mm]\uuline{(n^5-n) + 5(n^4+2n^3+2n^2+n)}\\[/mm]
>
> Eine Summe ist durch 5 teilbar, wenn deren Summanden durch
> 5 teilbar sind. In diesem Fall
> gilt das für den linken Summanden gemäß IV und für
> den rechten Summanden o ffensichtlich
> auch.
Das ist soweit korrekt.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 17.11.2013 | | Autor: | flo1191 |
> Nun, mit ein bisschen Bruchrechnung:
> [mm]\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)[/mm]
> [mm]=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{3}+\frac{3(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
> [mm]=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
>
> Wenn du jetzt den Zähler zusammenfasst, sollte
> [mm]\frac{n^{3}+6n^{2}+11n+6}{3}[/mm] herauskommen.
Hallo Marius, danke für die schnelle Antwort!
Doch soweit war ich doch schon, also vom Ergebnis her, oder?
Ist [mm]\frac{n^{3}+6n^{2}+11n+6}{3}[/mm] das Endergebnis meiner Aufgabe, sprich der Beweis? Da hänge ich ja 
...oder habe ich da was falsch verstanden?
gruß, Flo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Nun, mit ein bisschen Bruchrechnung:
> > [mm]\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)[/mm]
> > [mm]=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{3}+\frac{3(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
> > [mm]=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
> >
> > Wenn du jetzt den Zähler zusammenfasst, sollte
> > [mm]\frac{n^{3}+6n^{2}+11n+6}{3}[/mm] herauskommen.
>
>
> Hallo Marius, danke für die schnelle Antwort!
> Doch soweit war ich doch schon, also vom Ergebnis her,
> oder?
> Ist [mm]\frac{n^{3}+6n^{2}+11n+6}{3}[/mm] das Endergebnis meiner
> Aufgabe, sprich der Beweis? Da hänge ich ja
Nicht ganz, du musst noch zeigen, dass
[mm] \frac{n^{3}+6n^{2}+11n+6}{3}=\frac{\red{(n+1)}\cdot(\red{(n+1)}+1)\cdot(\red{(n+1)}+2)}{3}
[/mm]
Aber das hast du ja schon gezeigt, setze das noch zusammen, dann hast du nämlich gezeigt, dass
$ [mm] 0\cdot1+1\cdot2+2\cdot3+\ldots+(n-1)\cdot n+n\cdot(n+1)+\red{(n+1)}\cdot((\red{n+1})+2)=\ldots=\frac{\red{(n+1)}\cdot(\red{(n+1)}+1)\cdot(\red{(n+1)}+2)}{3}
[/mm]
$
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 So 17.11.2013 | | Autor: | flo1191 |
Super, danke!
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