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| Aufgabe | n! [mm] =\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ = 0} \\ 1\*......\*n, & \mbox{für } n \mbox{ >=1} \end{cases}
[/mm]
Beweisen Sie, dass
[mm] 2^{n} \ge [/mm] 2 * n!
gilt für alle n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
(Hinweis: Prüfen Sie die Fälle für n = 0 und n = 1 direkt nach und nutzen Sie vollständige Induktion für n [mm] \ge [/mm] 2) |
Ich komme bei dem Induktionsschluss nicht mehr weiter... kann mir jemande helfen?
Also ich hab bisher
I.A.: A(n) ist eine Aussage für alle natürlichen Zahlen und es gelte:
A(0)
[mm] 2^{0} \ge [/mm] 2 * 0!
1 [mm] \ge [/mm] 2 * 1
1 [mm] \ge [/mm] 2
=> wahre Aussage
A(1)
[mm] 2^{1} \ge [/mm] 2 * 1!
2 [mm] \ge [/mm] 2 * 1
2 [mm] \ge [/mm] 2
=> wahre Aussage
I.V. Es gilt für ein beliebiges, aber festes n [mm] \in \IN_{0} [/mm] : [mm] 2^{n} \ge [/mm] 2 * n!
I.V.
I.S.: [mm] 2^{n+1} \ge [/mm] 2 * (n+1)!
[mm] 2^n [/mm] * 2 [mm] \ge [/mm] 2 * n! * (n+1)
Ab hier hört mein Wissen leider auf :/
Habt ihr Tipps oder Hilfestellungen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß: Hamudii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Do 21.11.2013 | | Autor: | Lin_Lin |
Hallo HassanHam!
Ich glaube du hast die Aufgabenstellung falsch gelesen/geschrieben oder deine Vorlage war falsch. Es gilt nämlich für alle n [mm] \in \IN, [/mm] dass 2*n! [mm] \ge 2^{n} [/mm] ist.
Bei deinem Induktionsschritt darfst du nicht von vorneherein davon ausgehen, dass 2*(n+1)! [mm] \ge 2^{n+1} [/mm] ist. Denn wäre diese Ungleichung falsch, könntest du daraus alles folgern (also aus etwas falschem etwas wahres oder falsches). Das ist aber ein häufiger Anfängerfehler ;)
Tipp: Ich würde mit der Seite [mm] 2^{n+1} [/mm] Anfangen.
Der Anfang sieht dann so aus:
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n}*2 \le [/mm] ...
Laut Induktionsvorraussetzung gilt ja dann 2*n! [mm] \ge 2^{n}, [/mm] und damit kannst du eine Gleichungs-/Ungleichungs-Kette bauen bis du am gewünschten Ergebnis bist.
Hoffe ich konnte dir damit helfen und habe nicht zu viel vornweg genommen ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Do 21.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
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Also hab ich dann dort zu stehen:
[mm] 2^{n} [/mm] * 2 [mm] \le [/mm] 2*(n+1)!
[mm] 2^{n} [/mm] * 2 [mm] \le [/mm] 2*n!*(n+1) |:2
[mm] 2^{n} \le [/mm] n!*(n+1)
Wie komm ich nun weiter?
Gruß: Hamudii
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Also hab ich dann dort zu stehen:
> [mm]2^{n}[/mm] * 2 [mm]\le[/mm] 2*(n+1)!
> [mm]2^{n}[/mm] * 2 [mm]\le[/mm] 2*n!*(n+1) |:2
> [mm]2^{n} \le[/mm] n!*(n+1)
>
> Wie komm ich nun weiter?
>
> Gruß: Hamudii
[mm] 2^{n+1} \le [/mm] 2*(n+1)!
Das ist zu zeigen! Du fängst auf der einen Seite an, formst um, benutzt die Induktionsvoraussetzung und kommst im besten Fall auf die Aussagen die du zeigen möchte. Man bildet so eine Art Kette.
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n}*2 \le [/mm] ... hier kommt die Induktionsvoraussetzung [mm] (2^{n} \le [/mm] 2 * n!) ins Spiel
Eine Idee wie es weiter geht?
Gruß
Ebri
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Nein, komm irgendwie nicht drauf :S
Also ich würde einfach n -> n+1 einsetzen um es auch für das Folge Glied zu beweisen
[mm] 2^{n}*2 \le [/mm] 4*(n+1)!
[mm] 2^{n}*2 \le [/mm] 4*n!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Nein, komm irgendwie nicht drauf :S
> Also ich würde einfach n -> n+1 einsetzen um es auch für
> das Folge Glied zu beweisen
> [mm]2^{n}*2 \le[/mm] 4*(n+1)!
> [mm]2^{n}*2 \le[/mm] 4*n!
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n}*2 [/mm]
Jetzt benutzen wir die Induktionsvoraussetzung [mm] 2^{n}\le2*n! [/mm] und kommen auf:
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n}*2 \le [/mm] 2*n!*2$
Nun überlegt man weiter.
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n}*2 \le [/mm] 2*n!*2$ [mm] \le [/mm] .(*). [mm] \le2*(n+1)! [/mm] für alle n [mm] \ge2
[/mm]
(*) Hier muss noch was passieren.
Ebri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Do 21.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
ich würde dort 4n! einsetzen... dann durch 2 dividieren.... :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> ich würde dort 4n! einsetzen... dann durch 2 dividieren.... :D
Dividieren ist schlecht, das müsstest du bei jedem Term in der Ungleichungskette machen und das führt nicht zum Ziel.
Schau dir die Antwort von angela an und benutze den Tipp das (n+1)*n! = (n+1)! ist!
Bei weiteren Fragen geht es dort weiter.
Ebri
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Hallo,
Du möchtest unter Verwendung der IV zeigen, daß
[mm] 2^{n+1}\le [/mm] 2*(n+1)!.
Dazu ist eine Ungleichungskette zu erstellen, an deren Beginn wir [mm] 2^{n+1} [/mm] haben, und an deren Ende 2*(n+1)!
Also so etwas:
[mm] 2^{n+1}=...=...=...\le...=...<...<...= [/mm] 2*(n+1)!
So, nun geht's los:
[mm] 2^{n+1}=2*2^n\le 2*2*n!\le... [/mm] ... ... ...=2*(n+1)!
Du müßtest nun noch die Lücke füllen.
Dazu arbeite auch ruhig mal von hinten nach vorne.
Ist Dir klar, daß (n+1)!=n!*(n+1)?
(Wenn nicht, schreibe den letzten Term mal aus, also ohne Fakultät.)
LG Angela
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