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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo,
Ich muss durch Vollständige Induktion beweisen, das gilt:
[mm] 2^{n}>n^{2}.
[/mm]
Ich wäre sehr dankbar, wenn sich jemand findet, der mein Ergebnis checkt und eventuell berichtigt!
Meine Lösung:
1. Induktionsannahme: [mm] 2^{n}>n^{2}.
[/mm]
2. Induktionsbeginn: n=1: [mm] 2^{1}>1^{2}.
[/mm]
3. Induktionsschluss: m+1: zZ: [mm] 2^{m+1}>(m+1)^{2} [/mm]
[mm] 2^{m}*2>m^{2}*2\ge (m+1)^{2}, [/mm] für [mm] m\ge [/mm] 3.
Gilt die obige Formel jetzt nur für [mm] m\ge [/mm] 3????
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Fabian |
Hallo,
> Hallo,
> Ich muss durch Vollständige Induktion beweisen, das gilt:
>
> [mm]2^{n}>n^{2}.[/mm]
Für welchen Zahlenbereich sollst du die Ungleichung denn beweisen? Für [mm] n\ge [/mm] 3 ???
>
> Ich wäre sehr dankbar, wenn sich jemand findet, der mein
> Ergebnis checkt und eventuell berichtigt!
>
> Meine Lösung:
> 1. Induktionsannahme: [mm]2^{n}>n^{2}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Induktionsbeginn: n=1: [mm]2^{1}>1^{2}.[/mm]
Ob dein Induktionsbeginn richtig ist, kann ich jetzt nicht sagen! ( s.h. oben )
> 3. Induktionsschluss: m+1: zZ: [mm]2^{m+1}>(m+1)^{2}[/mm]
> [mm]2^{m}*2>m^{2}*2\ge (m+1)^{2},[/mm] für [mm]m\ge[/mm] 3.
So einfach geht das nicht!
Jezt zum Beweis! Nach Induktionsvorraussetzung schätzen wir [mm] n^{2} [/mm] durch [mm] 2^{n} [/mm] nach oben hin ab. Dann 2n+1 durch [mm] n^{2} [/mm] und in der letzten Ungleichung verwenden wir erneut die Indutkionsvorraussetzung.
Das ganze einmal im Zusammenhang:
[mm] (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1\le2^{n}+2n+1\le2^{n}+n^{2}\le2^{n}+2^{n}=2*2^{n}=2^{n+1}
[/mm]
was zu beweisen war!!!
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen!
Gruß Fabian
>
> Gilt die obige Formel jetzt nur für [mm]m\ge[/mm] 3????
>
> Gruß
> Docy
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo Fabian,
ich verstehe da leider einen Schritt nicht so ganz:
> Das ganze einmal im Zusammenhang:
>
> [mm](n+1)^{2}=n^{2}+2n+1\le2^{n}+2n+1\le2^{n}+n^{2}\le2^{n}+2^{n}=2*2^{n}=2^{n+1}[/mm]
>
> was zu beweisen war!!!
Wieso ist [mm] n^{2}>2n+1? [/mm] Das gilt doch nur für [mm] n\ge [/mm] 3, oder nicht? Das habe ich in meinem Beispiel gemeint mit [mm] 2^{m}\cdot{}2>m^{2}\cdot{}2\ge (m+1)^{2}! [/mm] Da daraus folgt [mm] 2^{m}\cdot{}2>m^{2}+m^{2}\ge m^{2}+2m+1, [/mm] muss ja gelten: [mm] m^{2}\ge [/mm] 2m+1 und das gilt doch nur für [mm] m\ge [/mm] 3, oder ist das falsch?
Ach übrigens, am Anfang steht nix von einer Einschränkung von x.
Gruß
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Fabian |
Ich hätte vielleicht erwähnen sollen, dass ich jetzt von [mm] n\ge3 [/mm] ausgegangen bin! Mein Fehler!
Wenn am Anfang der Aufgabe nichts angegeben ist, dann sucht bestimmt man normalerweise durch Probieren das kleinste [mm] n\in\IN, [/mm] für das diese Ungleichung gilt.
Meine Lösung ist dann natürlich nur teilweise richtig! Ich bin jetzt aber auch ein wenig überfragt!
Sorry!
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 09.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich sehe nicht ganz, wo euer problem hier ist, denn ihr argumentiert beide richtig !
für n=2 gilt die ungleichung offensichtlich nicht, deshalb setzt man als induktionsanfang n=3 und überprüft das
(es muss ja ein domino-stein fallen, damit alle fallen!)
die restlichen umformungen gelten dann natürlich für [mm] $n\ge [/mm] 3$..
viele Grüße
DaMenge
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