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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 03.12.2012 | | Autor: | ddww |
| Aufgabe | | Zeige mithilfer der voll. Induktion das gilt...: |
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{3} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}*(n+1)^{2}}{4}
[/mm]
1) I.Schritt [mm] n_o=1
[/mm]
1= 1 ist richtig!...
2. Es gelten die Induktionsvoraussetung:
[mm] \summe_{k=1}^{m} k^{3} [/mm] = [mm] \bruch{m^{2}*(m+1)^{2}}{4} [/mm] Sei bereits bewiesen.
3. m -> m+1 ist zu zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{m+1} k^{3} [/mm] = [mm] \bruch{(m+1)^{2}*(m+2)^{2}}{4}
[/mm]
Beweis:
[mm] \summe_{k=1}^{m+1} k^{3}= \summe_{k=1}^{m} k^{3} [/mm] + [mm] (m+1)^{3} [/mm] = [mm] \bruch{(m+1)^{2}*(m+2)^{2}}{4} [/mm] + [mm] (m+1)^{3}
[/mm]
__________________
Kann mir jemand sagen warum bei dem beweis (letzte zeile) -> [mm] (m+1)^{3} [/mm] hinzukommt?
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Hallo,
ein Beweis steht da aber noch nicht! Die [mm] (m+1)^3 [/mm] werden dazuaddiert, weil jetzt ja die Summe der ersten (m+1) Kubikzahlen dastehen soll. Du musst jetzt den Term auf der rechten Seite so umformen, dass da wieder die Induktionsvoraussetzung steht, nur eben überall mit einem 'm+1', wo vorher 'm' stand. Erst dann ist der Beweis erbracht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 03.12.2012 | | Autor: | ddww |
hi, vielen dank erstmal.
Ich habe die Lösungen vormir. Das sind Aufschriebe vom unterricht.
Was ich nicht verstehe ist eben das mit [mm] (m+1)^{3}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mo 03.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu dem was schob gilt nach Ind. Voers addierst du auf beiden Seiten [mm] (m+1)^3, [/mm] dann ist das immer noch richtig- lins steht dann die aumme bis m+1, rechts kann man das behauptete ausrechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 03.12.2012 | | Autor: | ddww |
Ja und warum wird das jetzt hinzugefügt, was soll das damit erreicht werden? Was addiert man bei anderen aufgaben dann immer hinzu?
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Hallo, bei der vollständigen Induktion zeigst du im Induktionsschritt, dass eine Aussage auch für den Nachfolger (m+1), deine Induktionsbehauptung, gilt, dabei benutzt du die Induktionsvoraussetzung (m)
[mm] \summe_{k=1}^{m+1} k^{3}=\bruch{(m+1)^{2}*(m+2)^{2}}{4}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{m+1} k^{3}=\summe_{k=1}^{m} k^{3}+(m+1)^{3}=\bruch{m^2(m+1)^{2}}{4}+(m+1)^{3}
[/mm]
zu zeigen ist die Gleichheit:
[mm] \bruch{m^2(m+1)^{2}}{4}+(m+1)^{3}=\bruch{(m+1)^{2}*(m+2)^{2}}{4}
[/mm]
als Hinweise:
- erweitere [mm] (m+1)^{3}
[/mm]
- linke Seite der Gleichung [mm] (m+1)^{2} [/mm] ausklammern
- Binomische Formeln kennst du
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mo 03.12.2012 | | Autor: | ddww |
viel vielen vielen dank :)... Hat bei mir ein wenig gedauert bis ich das kapiert habe...
Mach grad noch eine Aufgabe und zwar:
a) [mm] 2^{n}> [/mm] n
Mein Rechenweg:
1. Induktionsanfang n=1. Beweis [mm] 2^{1} [/mm] > 1
2. Induktionsschrit m > m+1
Induktionsvoraussetzung: [mm] 2^{m}> [/mm] m
Es ist zu zeigen: [mm] 2^{m+1} [/mm] > m+1
Beweis,hier bin ich mir mit der Schreibweise ein wenig unsicher, stimm es so:
[mm] 2^{m+1} [/mm] = [mm] 2^{m}*2^{1} [/mm] > m * 2 | [mm] \vdots [/mm] 2
[mm] 2^{m} [/mm] > m
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 03.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> viel vielen vielen dank :)... Hat bei mir ein wenig
> gedauert bis ich das kapiert habe...
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> Mach grad noch eine Aufgabe und zwar:
>
> a) [mm]2^{n}>[/mm] n
>
>
> Mein Rechenweg:
>
>
> 1. Induktionsanfang n=1. Beweis [mm]2^{1}[/mm] > 1
> 2. Induktionsschrit m > m+1
> Induktionsvoraussetzung: [mm]2^{m}>[/mm] m
>
> Es ist zu zeigen: [mm]2^{m+1}[/mm] > m+1
>
> Beweis,hier bin ich mir mit der Schreibweise ein wenig
> unsicher, stimm es so:
>
> [mm]2^{m+1}[/mm] = [mm]2^{m}*2^{1}[/mm] > m * 2 | [mm]\vdots[/mm] 2
> [mm]2^{m}[/mm] > m
>
Ich würde es wie folgt schreiben:
[mm]2^{m+1}=2^{m}\cdot2^{1}\stackrel{I.V}{>}m\cdot2=m+m\geq m+1[/mm]
Marius
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