Vollständige Induktion (Porto < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Marionne |
| Aufgabe | a)Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass Porto in Höhe von 24 cent oder mehr mit nur 5-cent und 7 cent briefmarken erreicht werden kann.
b)Bestimmen Sie die Summe 1+3+5+...+(2n-1) in dem Sie zuerst eine Formel für die Summe vermuten und dann diese Formel mittels vollständiger Induktion beweisen. |
Hallo Leute,
mein Problem an der ganzen Sache ist, dass ich zwar schon in der Schule mal kurz Induktion hatte, aber nicht mehr wirklich weiß wie das ging. Ich habe mir für a) bei IS (sogenannter Induktionsschritt) Folgendes gedacht:
N1= Anzahl der 5-cent Briefmarken (N für die natürlichen Zahlen)
N2 = Anzahl der 7-cent Briefmarken
dann folgt aus N1 5+ N2 7 = 24, dass
N1= 24 - 7 N2/5
(Das sollte eigentlich ein großer Bruchstrich sein, aber ich habe keine Ahnung wie man den am Computer schreibt). Jetzt habe ich aber keine Ahnung wie ich weiter kommen soll. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
von Marionne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Mi 10.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Marion
zuerstmal musst du 24 durch ausprobieren rauskriegen 24=2*5*2*7
zweitens musst du 1 darstellen:a) 1=3*5-2*7 ;b) 1=3*7-4*5, 2=1*7-1*5 3=.. 4=.. 6= damit kannst du die folgenden Zahlen ausrechnen. dabei musst du nur immer 5 oder 7 weiterkommen, denn dann ist es ja immer nur eine 7 oder eine 5 mehr!
Du musst noch zeigen, dass du durch die Wahl der 1 nie negativ wirst.
die Induktion ist dann wenn du eine bel Zahl hast: 24 abziehen, den Rest durch 7 oder 5 teilen und dann bist du bei nem Rest <5 bzw kleiner 7 und am Ende.
Aufgabe b ist typischer für ne vollst. Induktion: [mm] gerate:n^{2} [/mm] wegen der Summen 1,4,9,16...
1. es gilt für n=1: 2n-1=1 [mm] 1=1^{2}
[/mm]
Induktionsvors: die Formel gilt für n, d.h. [mm] 1+2+...+(2n-1)=n^{2} [/mm]
wir wollen zeigen: [mm] 1+2+...........((2*(n+1)-1)=(n+1)^{2}
[/mm]
dafür müssen wir natürlich die Induktionsvors benutzen:
[mm] 1+2+...+(2n-1)=n^{2} [/mm] wir addieren auf beiden Seiten ((2*(n+1)-1)
[mm] 1+2+...+(2n-1)+((2*(n+1)-1)=n^{2}+2n+1 =(n+1)^{2}
[/mm]
damit haben wir aus der Induktionsvors die Behauptung bewiesen, denn wenn es für 1 gilt, dann auch für 2 dann auch für 3 usw also für alle Zahlen n die man erreicht, indem man zur Anfangszahl immer wieder 1 addiert.
Das ist die Idee der vollst Induktion.
Gruss leduart
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Hallo, hier wieder Marionne.
Vielen Dank für den zweiten Teil der Aufgabe, komme damit gut klar. Mit dem ersten habe ich meine Schwierigkeiten. Es handelt sich doch um Briefmarken. Warum werden bei der Induktion überhaupt auch die Briefmarkenwerte 1, 2 und so weiter dargestellt. Wenn ich einen realen Brief habe, kann ich do auch nicht eine mit zu hohem Wert draufkleben und dann einen Teil vom Wert auf dem Brief irgendwie wieder abziehen. Und wieso bleibt ein Rest <5 oder <7? Ist es nicht eigentlich Sinn und Zweck, dass ich gar keinen Rest mehr habe, weil ich das Porto ja mit den ganzen Briefmarken erreichen will?
Grüße von Marionne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:40 Fr 12.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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