Vollständige Induktion mit Fak < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 27.10.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Zeige mit vollständiger Induktion für [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] 4^n/n+1 [/mm] < [mm] (2n)!/(n!)^2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 |
Also, mir ist das Prinzip der vollständigen Induktion vertraut und normalerweise schaffe ich es auch, richtig umzuformen, aber bei dieser Ungleichung stehe ich an.
Mein Ansatz wäre folgender:
IA) wurde mit n = 2 gezeigt
IAn) gelte für bel aber festes n
IS) zz für n+1
[mm] 4^{n+1}/(n+1)+1 [/mm] = [mm] 4*4^n/n+2 [/mm] < [mm] 4*4^n/n+1 [/mm] = [mm] 4*(4^n/n+1)< [/mm] (wegen IA) [mm] 4*(2n)!/(n!)^2 [/mm] = ?
Hier weiß ich nicht mehr weiter, wie ich umformen muss, damit ich auf mein Ergebniss komme [mm] (2(n+1)!/((n+1)!)^2)
[/mm]
Bitte um Hilfe!
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> Zeige mit vollständiger Induktion für [mm]n\in\IN:[/mm]
> 4n/n+1 < [mm](2n)!/(n!)^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
>
> Also, mir ist das Prinzip der vollständigen Induktion
> vertraut und normalerweise schaffe ich es auch, richtig
> umzuformen, aber bei dieser Ungleichung stehe ich an.
>
> Mein Ansatz wäre folgender:
> IA) wurde mit n = 2 gezeigt
> IAn) gelte für bel aber festes n
>
> IS) zz für n+1
> 4^(n+1)/(n+1)+1 = [mm]4*4^n[/mm] / n+2 < [mm]4*4^n[/mm] / n+1 = 4* [mm](4^n[/mm] /
> n+1) < (wegen IA) 4* (2n)! / [mm](n!)^2[/mm] = ?
>
> Hier weiß ich nicht mehr weiter, wie ich umformen muss,
> damit ich auf mein Ergebniss komme (2(n+1)! / [mm]((n+1)!)^2[/mm] )
>
> Bitte um Hilfe!
Hallo dodo1924
Ich vermute sehr, dass du die Aufgabe gar nicht korrekt
wiedergegeben hast. War da auf der linken Seite nicht
noch ein Exponent ?
Um die Aufgabenstellung und deinen Lösungsansatz
korrekt notieren zu können, solltest du unbedingt die
Eingabehilfen (sprich Formeleditor) nutzen. Nimm dir
bitte zuerst die Zeit dafür !
LG , Al-Chwarizmi
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> Zeige mit vollständiger Induktion für [mm]n\in\IN:[/mm]
> [mm]4^n/n+1[/mm] < [mm](2n)!/(n!)^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
> Mein Ansatz wäre folgender:
> IA) wurde mit n = 2 gezeigt
> IAn) gelte für beliebiges aber festes n
>
> IS) zu zeigen für n+1
> [mm]4^{n+1}/(n+1)+1[/mm] = [mm]4*4^n/n+2[/mm] < [mm]4*4^n/n+1[/mm] = [mm]4*(4^n/n+1)<[/mm]
> (wegen IA) [mm]4*(2n)!/(n!)^2[/mm] = ?
>
> Hier weiß ich nicht mehr weiter, wie ich umformen muss,
> damit ich auf mein Ergebniss komme [mm](2(n+1)!/((n+1)!)^2)[/mm]
>
> Bitte um Hilfe!
Hallo nochmals,
du scheinst meinen Tipp nur teilweise befolgt zu haben.
Es fehlen z.B. immer noch notwendige Klammern, und
die Bruchdarstellung mittels Bruchstrichen mit Zähler
darüber und Nenner darunter fehlt noch. Ich mach das
nun mal für dich und bitte dich, genau zu verfolgen,
wie die Terme geschrieben werden (dazu einfach auf
eine Formel oder Gleichung klicken, um das dahinter
steckende TeX zu sehen).
Zu zeigen ist, dass für alle n mit [mm] n\ge [/mm] 2 gilt:
A(n) : [mm] $\frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2}$
[/mm]
Die Verankerung mit n=2 scheinst du schon gemacht
zu haben. In deinem Beweis solltest du allerdings nicht
bloß erwähnen, "dass es stimmt", sondern die entsprechende
Rechnung wirklich vorführen !
Dann zum Induktionsschritt. Dabei nehmen wir also an,
wir hätten eine bestimmte (aber beliebige) Zahl n mit [mm] n\ge2 [/mm] ,
für welche die Aussage
A(n) : [mm] $\frac{\blue{4^n}}{n+1}<\frac{\green{(2n)!}}{\red{(n!)^2}}$
[/mm]
gültig ist. Nun geht es darum, nachzuweisen, dass dann
auch die Aussage A(n+1) gültig sein muss, also:
A(n+1) : [mm] $\frac{4^{n+1}}{(n+1)+1}<\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2}$
[/mm]
Diese jetzt zu beweisende Ungleichung kann man zunächst
ein wenig "kosmetisch" behandeln:
A(n+1) : [mm] $\frac{\blue{4^n}*4}{n+2}<\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\green{(2n)!}*(2n+1)*(2n+2)}{\red{(n!)^2}*(n+1)^2}$
[/mm]
Warum ich das gerade auf diese Form gebracht habe,
merkst du, wenn du beachtest, dass die farbig darge-
stellten Formelbestandteile genau so schon in der
Ungleichung der Induktionsvoraussetzung vorkommen.
Wir müssen ja darauf abzielen, die Induktionsvoraus-
setzung ins Spiel bringen zu können.
Ich hoffe, dass dir meine Vorarbeit nun helfen wird,
den Abschluss des Weges zum Beweis selber zu finden.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 27.10.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hm...okay....
So ganz schaffe ich es immer noch nicht :(
[mm] \frac{4^{n+1}}{(n+1)+1} [/mm] = [mm] 4*\frac{4^{n}}{(n+2)} [/mm] < [mm] 4*\frac{4^{n}}{(n+1)} [/mm] < [mm] 4*\frac{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] = [mm] \frac{4*(2n)!}{(n!)^2} \le \frac{2n*(2n)!}{(n!)^2} [/mm] = [mm] \frac{2n*(2n)!*(n+1)^2}{(n!)^2*(n+1)^2} [/mm]
Jetzt müsst ich ja eigentlich nur noch den Dividend dementsprechend umformen, wobei ich ihn auch beliebig erhöhen darf, da ja mit wachsendem Dividend die Zahl wächst, oder??
Ist die ungleichung bis jetzt korrekt??
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> [mm]\frac{4^{n+1}}{(n+1)+1}[/mm] = [mm]4*\frac{4^{n}}{(n+2)}[/mm] [mm] \red{<} [/mm]
> [mm]4*\frac{4^{n}}{(n+1)}[/mm] < [mm]4*\frac{(2n)!}{(n!)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{4*(2n)!}{(n!)^2} \ \red{\le}\ \frac{2n*(2n)!}{(n!)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{2n*(2n)!*(n+1)^2}{(n!)^2*(n+1)^2}[/mm]
>
> Jetzt müsst ich ja eigentlich nur noch den Dividend
> dementsprechend umformen, wobei ich ihn auch beliebig
> erhöhen darf, da ja mit wachsendem Dividend die Zahl
> wächst, oder??
> Ist die Ungleichung bis jetzt korrekt??
Korrekt scheint's zwar zu sein, aber doch nicht ganz
zielführend. Mir scheint, dass du bei zwei Umformungs-
schritten (ich habe die entsprechenden Ungleichheits-
zeichen rot markiert) schon zu großzügig warst und
damit zu viel "geopfert" hast, was man schlussendlich
doch noch brauchen würde ...
Bitte versteh' , dass ich mich erst morgen wieder zu
den Details äußern werde ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 28.10.2014 | | Autor: | dodo1924 |
So, habe nach einem anstrengenden Unitag "endlich" wieder zeit, den beweis weiter zu führen :)
Hab jetzt mal dein zweites rotes [mm] \le [/mm] rückgängig gemacht und komme nun bis hier her:
[mm] \frac{4^{n+1}}{(n+1)+1} [/mm] = [mm] 4\cdot{}\frac{4^{n}}{(n+2)} [/mm] < [mm] 4\cdot{}\frac{4^{n}}{(n+1)} [/mm] < [mm] 4\cdot{}\frac{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] = [mm] \frac{4\cdot{}(2n)!}{(n!)^2} [/mm] = [mm] \frac{4\cdot{}(2n)!\cdot{}(n+1)^2}{(n!)^2\cdot{}(n+1)^2} [/mm] = [mm] \frac{(2n)!\cdot{}(n+1)*(4n+4)}{((n+1)!)^2} [/mm] = [mm] \frac{(2n)!\cdot{}(4n^2+8n+4)}{((n+1)!)^2}
[/mm]
Wenn ich nun den oberen Term weiter bearbeite, würde ich auf folgendes kommen:
[mm] \frac{(2n)!\cdot{}(2n+2)(2n+2)}{((n+1)!)^2}
[/mm]
Was der Lösung ja bereits verdammt nahe kommt, aber trotzdem noch um eins abweicht :P
Kann ich auf diesem Weg trotzdem noch aufs richtige Ergebniss kommen?
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Guten Abend
> Hab jetzt mal dein zweites rotes [mm]\le[/mm] rückgängig gemacht
> und komme nun bis hier her:
>
> [mm]\frac{4^{n+1}}{(n+1)+1}[/mm] = [mm]4\cdot{}\frac{4^{n}}{(n+2)}[/mm] <
> [mm]4\cdot{}\frac{4^{n}}{(n+1)}[/mm] <
> [mm]4\cdot{}\frac{(2n)!}{(n!)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{4\cdot{}(2n)!}{(n!)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{4\cdot{}(2n)!\cdot{}(n+1)^2}{(n!)^2\cdot{}(n+1)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{(2n)!\cdot{}(n+1)*(4n+4)}{((n+1)!)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{(2n)!\cdot{}(4n^2+8n+4)}{((n+1)!)^2}[/mm]
>
> Wenn ich nun den oberen Term weiter bearbeite, würde ich
> auf folgendes kommen:
>
> [mm]\frac{(2n)!\cdot{}(2n+2)(2n+2)}{((n+1)!)^2}[/mm]
>
> Was der Lösung ja bereits verdammt nahe kommt, aber
> trotzdem noch um eins abweicht :P
> Kann ich auf diesem Weg trotzdem noch aufs richtige
> Ergebnis kommen?
Ich fürchte nein ...
Zunächst noch: freut mich, dass du jetzt TeX schreibst. Dazu
noch ein Tipp: Damit bei nachfolgendem Zitieren (wie hier)
Formelzeilen nicht auseinandergerissen werden, solltest
du nur jeweils ganze Zeilen in TeX umsetzen. Dazu ist
insbesondere noch nützlich zu wissen, wie man kleine und
größere Abstände schafft, etwa mittels \, \ \quad \qquad
Da die zu beweisende Ungleichung tatsächlich ziemlich
"knapp" ist, musst du auch auf die erste Ersetzung
des Nenners (n+1) durch (n+2) verzichten und z.B.
so vorgehen, wie es chrisno schon vorgeschlagen hat.
Bei meiner Rechnung liegt der Trick am Ende dabei,
zu zeigen, dass
$\ [mm] (n+\frac{1}{2})*(n+2)\ [/mm] >\ [mm] (n+1)^2$ [/mm]
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 28.10.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Okay, habe jetzt nochmal von vorne angefangen und auch das erste rote < ausgelassen. Komme so auf folgende gleichung:
[mm] \frac{4^{n+1}}{(n+1)+1} [/mm] = [mm] 4\cdot{}\frac{4^{n}}{(n+2)} [/mm] = [mm] 4\cdot{}\frac{4^{n}*(n+1)}{(n+2)(n+1)} [/mm] =
[mm] 4\cdot{}\frac{(n+1)}{(n+2)}*\frac{4^{n}}{(n+1)} [/mm] < [mm] 4\cdot{}\frac{(n+1)}{(n+2)}*\frac{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] =
[mm] \frac{4*(2n)!*(n+1)}{(n!)^2*(n+2)} [/mm] =
[mm] \frac{(2n)!*(2n+2)*2}{(n!)^2*(\frac{n}{2}+1)*2} [/mm] =
[mm] \frac{(2n)!*(2n+2)*(2n+1)}{(n!)^2*(\frac{n}{2}+1)*(2n+1)} [/mm] =
[mm] \frac{(2(n+1))!}{(n!)^2*(n^2+\frac{3n}{2}+1)}
[/mm]
Aber spätestens hier steh ich wieder an :P
Kurz vorm Ziel doch gescheitert...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Di 28.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Von dem Punkt aus, den ich Dir geschrieben habe, ist es ein Selbstgänger. Beide Seiten mit beiden Nennern multiplizieren, dann sind die Brüche weg. Ausmultiplizieren und bis auf 0<n zusammenstreichen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Di 28.10.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Danke für deine Hinweise!
Konnte jedoch mit denen von Al-Chwarizmi mehr anfangen, da wir vollständige Induktion in der Vorlesung nach einem ähnlichen Schema gelernt haben.
Seine Ansätze konnte ich irgendwie besser nachvollziehen...
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> Okay, habe jetzt nochmal von vorne angefangen und auch das
> erste rote < ausgelassen. Komme so auf folgende gleichung:
>
> [mm]\frac{4^{n+1}}{(n+1)+1}[/mm] = [mm]4\cdot{}\frac{4^{n}}{(n+2)}[/mm] =
> [mm]4\cdot{}\frac{4^{n}*(n+1)}{(n+2)(n+1)}[/mm] =
>
> [mm]4\cdot{}\frac{(n+1)}{(n+2)}*\frac{4^{n}}{(n+1)}[/mm] <
> [mm]4\cdot{}\frac{(n+1)}{(n+2)}*\frac{(2n)!}{(n!)^2}[/mm] =
>
> [mm]\frac{4*(2n)!*(n+1)}{(n!)^2*(n+2)}[/mm] =
>
> [mm]\frac{(2n)!*(2n+2)*2}{(n!)^2*(\frac{n}{2}+1)*2}[/mm] =
>
> [mm]\frac{(2n)!*(2n+2)*(2n+1)}{(n!)^2*(\frac{n}{2}+1)*(2n+1)}[/mm]
> =
>
> [mm]\frac{(2(n+1))!}{(n!)^2*(n^2+\frac{\red{3}n}{2}+1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Aber spätestens hier steh ich wieder an :P
> Kurz vorm Ziel doch gescheitert...
Ja, da hast du aber auch gerade noch einen kleinen
(Vorzeichen- ?) Fehler gemacht. Da sollte es doch zum
Schluss hin heißen:
$ \frac{(2n)!\cdot{}(2n+2)\cdot{}(2n+1)}{(n!)^2\cdot{}(\frac{n}{2}+1)\cdot{}(2n+1)} $
$\ =\ \frac{(2(n+1))!}{(n!)^2\cdot{}\underbrace{(n^2+\frac{\blue{5}n}{2}+1)}_{>\ (n+1)^2}}\ <\ \frac{(2(n+1))!}{(n!)^2\cdot{}(n+1)^2}\ =\ \frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2$
Jetzt alles klar ?
Nach allem erscheint mir diese Aufgabe doch als recht
geeignet für das Erlernen der Technik des Beweisens
durch vollständige Induktion. Besonders sieht man
an dem Beispiel, dass man beim "Abschätzen" durch
Ungleichungsketten doch recht behutsam und "sparsam"
vorgehen sollte. In anderen Beweisen dieser Art
schadet es zwar nicht, wenn man teilweise sehr groß-
zügig verfährt, doch die Meisterschaft zeigt sich erst
dann, wenn es auch einmal "knapp" wird.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 28.10.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Oh man, dieser blöde rechenfehler :P
Danke für den Hinweis!
Wollte auch schon mit > [mm] (n^2+2n+1) [/mm] argumentieren, aber das wäre durch durch [mm] \frac{3n}{2} [/mm] ja vereitelt....
Danke nochmals für deine Hinweise und Geduld ;)
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> Wollte auch schon mit > [mm](n^2+2n+1)[/mm] argumentieren, aber das
> wäre durch durch [mm]\frac{3n}{2}[/mm] ja vereitelt....
Ja, irgendwie ist es eben wirklich etwas "knapp"
> Danke nochmals für deine Hinweise und Geduld ;)
Tut mir auch immer wieder gut, mich in so was reinzuknien 
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mo 27.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Kurz vor dem Einschlafen, ...
ich schlage ein strategisches Vorgehen vor:
Abgeschätzt werden soll:
$ [mm] \frac{\blue{4^n}\cdot{}4}{n+2}$
[/mm]
Gegeben ist:
$ [mm] \frac{\blue{4^n}}{n+1}<\frac{\green{(2n)!}}{\red{(n!)^2}} [/mm] $
Um zu den oberen Term zu gelangen, werden in der unteren Zeile beide Seiten mit [mm] $\br{4(n+1)}{n+2}$ [/mm] multipliziert. Das ergibt:
$ [mm] \frac{4^n\cdot4}{n+2}<\frac{\green{(2n)!}}{\red{(n!)^2}}\cdot\br{4(n+1)}{n+2} [/mm] $
Damit siehst Du, dass nur noch [mm] $\br{4(n+1)}{n+2}<\frac{(2n+1)\cdot{}(2n+2)}{(n+1)^2} [/mm] $
zu zeigen bleibt. Das (2n+2) schreit sowieso schon eine Stunde lang nach Ausklammern und Kürzen.
Den Rest schaffst Du dann auch noch.
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