Vollständige Induktion q^k = ( < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:11 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Dym |
| Aufgabe | Es sei q [mm] \in \IR \backslash(0,1). [/mm] Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n}q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
gilt für alle [mm] n\in\IN_{0} [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AswFnIqc6YNw1561EgtkuCMICgx.;_ylv=3?qid=20111101151232AAnx2eO
Hallo ich habe hier einen Beweis, den ich machen muss für folgendes:
[mm] \summe_{k=0}^{n}q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Induktionsanfang: (n=0)
[mm] \summe_{k=0}^{n=0}q^k =\bruch{1-q^{1}}{1-q}
[/mm]
[mm] q^{0} [/mm] = 1
1 = 1 , IA erfüllt.
Induktionsvorraussetzung:
[mm] \summe_{k=0}^{n}q^k =\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Induktionsbehauptung: n -> n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}q^k =\bruch{1-q^{n+2}}{1-q}
[/mm]
Induktionsschritt (Beweis):
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}q^k=q^0+q^1+q^2+...+q^n [/mm] + [mm] q^{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}q^k=\summe_{k=0}^{n}q^k =q^k [/mm] + [mm] q^{n+1}
[/mm]
Jetzt ersetze ich die linke Seite mit der Rechten und erhalte:
[mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}
[/mm]
Wie mache ich jetzt weiter mit so einem Bruchterm? Und wie beweise ich jetzt die Aufgabe korrekt? Bitte um Tipps und Hilfen!
Jetzt weiß ich dass man [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}
[/mm]
nur noch runterbrechen muss, um eine Gleichung wie bei der I-Vorraussetzung herauszubekommen...
Bitte helft mir,
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Es sei q [mm]\in \IR \backslash(0,1).[/mm] Zeigen Sie durch
> vollständige Induktion:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}q^k[/mm] = [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
> gilt für alle [mm]n\in\IN_{0}[/mm]
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AswFnIqc6YNw1561EgtkuCMICgx.;_ylv=3?qid=20111101151232AAnx2eO
>
> Hallo ich habe hier einen Beweis, den ich machen muss für
> folgendes:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}q^k[/mm] = [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
>
> Induktionsanfang: (n=0)
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n=0}q^k =\bruch{1-q^{1}}{1-q}[/mm]
>
>
> [mm]q^{0}[/mm] = 1
>
> 1 = 1 , IA erfüllt.
>
> Induktionsvorraussetzung:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}q^k =\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
> Induktionsbehauptung: n -> n+1
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}q^k =\bruch{1-q^{n+2}}{1-q}[/mm]
>
> Induktionsschritt (Beweis):
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}q^k=q^0+q^1+q^2+...+q^n[/mm] + [mm]q^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}q^k=\summe_{k=0}^{n}q^k =q^k[/mm] + [mm]q^{n+1}[/mm]
Die letzte Zeile hier stimmt nicht. Ich nehme an Tippfehler.
> Jetzt ersetze ich die linke Seite mit der Rechten und
> erhalte:
>
> [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}[/mm]
>
> Wie mache ich jetzt weiter mit so einem Bruchterm? Und wie
> beweise ich jetzt die Aufgabe korrekt? Bitte um Tipps und
> Hilfen!
>
>
> Jetzt weiß ich dass man [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}[/mm]
> nur noch runterbrechen muss, um eine Gleichung wie bei der
> I-Vorraussetzung herauszubekommen...
Einfach noch auf den Hauptnenner bringen: [mm] $\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1} + (1-q)q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+2}}{1-q}$. [/mm] Fertig.
LG Lippel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 06.11.2011 | | Autor: | Dym |
Was genau stimmt am Rechenweg nicht? Könnt ihr mir bitte sagen was ich hier sonst noch falsch gemacht habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 06.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Es wurde doch nur auf den Tippfehler hingewiesen
> $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1}q^k=\summe_{k=0}^{n}q^k =q^k [/mm] $
Da wolltest Du doch sicher schreiben:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1}q^k=\summe_{k=0}^{n}q^k [/mm] + [mm] q^{n+1} [/mm] $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 So 06.11.2011 | | Autor: | Dym |
Danke für die Hilfe!
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