Vollständige Induktionsaufgabe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Di 26.08.2008 | | Autor: | MissTake |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle nat. Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] die Gültigkeit folgender Gleichung:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \* [/mm] k² = [mm] (-1)^n^-^1 \* \bruch{n\*(n+1)}{2} [/mm] |
Ich rechne diese Aufgabe grade zum ich weiß nicht wievielten Male.. irgendwie kommt ständig was anderes bei raus.. und da unten komm ich jetzt nicht mehr weiter. Kann mir vielleicht jemand das Brett vorm Kopf entfernen? *seufz
A(1): [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^k-1 \* [/mm] k² = -1 und
[mm] (-1)^n^-^1 \* \bruch{1\*(1+1)}{2} [/mm] = -1 also gilt der Induktionsanfang.
A(n)=> A(n+1):
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k-1 \* [/mm] k² = [mm] (-1)^n^-^1 \* \bruch{n\*(n+1)}{2}
[/mm]
=>
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k-1 \* [/mm] k² = [mm] (-1)^n \* \bruch{(n+1)\*(n+2)}{2}
[/mm]
Nun gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k-1 \* [/mm] k² = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k-1 \* [/mm] k² + [mm] (-1)^n \* [/mm] (n+1)² = [mm] (-1)^n^-^1 \* \bruch{n\*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^n \* [/mm] (n+1)²
n.z.z.
[mm] (-1)^n-1 \* \bruch{n\*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^n \* [/mm] (n+1)² = [mm] (-1)^n \* \bruch{(n+1)\*(n+2)}{2}
[/mm]
<=> [mm] (-1)^n^-^1 \* [/mm] n(n+1) + [mm] (1)^n \* [/mm] (2n+2) = (n+2) [mm] \* (-1)^n
[/mm]
<=> [mm] -n^n^-^1\* n\*(n+1) [/mm] + [mm] (-1)^n [/mm] (2n+2) = [mm] -n^n [/mm] - [mm] 2^n
[/mm]
<=> [mm] -n^n [/mm] - [mm] n^n^-^1 [/mm] - [mm] 2n^n [/mm] - [mm] 2^n [/mm] = [mm] -n^n [/mm] - [mm] 2^n
[/mm]
<=> -n [mm] \*n^n^-^1 [/mm] - [mm] n^n^-^1 [/mm] - [mm] 2n^n [/mm] - [mm] 2^n [/mm] = [mm] -n^n [/mm] - [mm] 2^n
[/mm]
. . . .
So, hab diese ^n-1 und so verbessert..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissTake!
> A(n)=> A(n+1): [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k-1 \*[/mm] k² = [mm](-1)^n-1 \* \bruch{n\*(n+1)}{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier muss es heißen (alle $n_$ werden durch $n+1_$ ersetzt):
[mm] $$\summe_{k=1}^{n} (-1)^k-1*k^2 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{n \red{+1}}-1 [/mm] * [mm] \bruch{n\*(n+1)}{2}$$
[/mm]
> n.z.z.
> [mm](-1)^n-1 \* \bruch{n\*(n+1)}{2}[/mm] + [mm](-1)^n \*[/mm] (n+1)² = [mm](-1)^n \* \bruch{(n+1)\*(n+2)}{2}[/mm]
>
> <=> [mm](-1)^n-1 \*[/mm] n(n+1) + [mm](1)^n \*[/mm] (2n+2) = (n+2) [mm]\* (-1)^n[/mm]
>
> <=> [mm]-n^n-1\* n\*(n+1)[/mm] + [mm](-1)^n[/mm] (2n+2) = [mm]-n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm]
> <=> [mm]-n^n[/mm] - [mm]n^n-1[/mm] - [mm]2n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm] = [mm]-n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm]
> <=> -n [mm]\*n^n-1[/mm] - [mm]n^n-1[/mm] - [mm]2n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm] = [mm]-n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm]
Wie kommst Du hier auf [mm] $\red{2}^n$ [/mm] . Das kann man so nicht zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Di 26.08.2008 | | Autor: | MissTake |
und auf die [mm] 2^n [/mm] komme ich hm.. habe die Klammer aufgelöst [mm] (-1)^n \* [/mm] (2n+2)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissTake!
Nur um weitere Missverständnisse zu vermeiden ... meinst Du hier folgende Aufgabe?
[mm] $$\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}*k^2 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{n-1}* \bruch{n*(n+1)}{2}$$
[/mm]
Das heißt, das $...-1_$ gehört noch jeweils in den Exponenten?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Di 26.08.2008 | | Autor: | MissTake |
Ich weiß grad selbst nicht mehr was ich so meine und was nicht.
Ich rechne seit 5 Stunden an Induktionsaufgaben rum.. und so langsam seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot{}k^2 [/mm] = [mm] (-1)^{n-1}\cdot{} \bruch{n\cdot{}(n+1)}{2}
[/mm]
du hast recht... ich habe hier so viele Zettel mit Rechnungen liegen - ich blick so langsam nicht mehr durch ! :(
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 26.08.2008 | | Autor: | MissTake |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle nat. Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] die Gültigkeit folgender Gleichung:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} [/mm] * k² = [mm] (-1)^n^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] |
A(1): [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^k^-^1 [/mm] * k² = -1 und
[mm] (-1)^n^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{1*(1+1)}{2} [/mm] = -1 also gilt der Induktionsanfang.
A(n)=> A(n+1):
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k^-^1 [/mm] * k² = [mm] (-1)^n^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]
=>
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k^-^1 [/mm] * k² = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)}{2} [/mm]
Nun gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k^-^1 [/mm] * k² = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k^-^1 [/mm] * k² + [mm] (-1)^n \* [/mm] (n+1)² = [mm] (-1)^n^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^n [/mm] * (n+1)²
n.z.z.
[mm] (-1)^n^-^1 \* \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^n [/mm] * (n+1)² = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)}{2} [/mm]
<=> [mm] (-1)^n^-^1 \* [/mm] n + [mm] (-1)^n \* (n+1)\*2 [/mm] = [mm] (-1)^n \* [/mm] (n+2) (habe also mit bruch{2)}{n+1} multipliziert)
<=> [mm] -n^n^-^1 [/mm] + [mm] (-n^n -1^n)\*2 [/mm] = [mm] -n^n [/mm] - [mm] 2^n
[/mm]
<=> [mm] -n^n^-^1 [/mm] - [mm] 2n^n [/mm] - [mm] 2^n [/mm] = [mm] -n^n [/mm] - [mm] 2^n
[/mm]
<=> [mm] -n^n^-^1 [/mm] - [mm] 2n^n [/mm] = [mm] -n^n
[/mm]
Vielleicht stecken ja nun weniger Fehler drin *langsam verzweifel*
Leider wüsste ich falls es richtig ist hier an dieser Stelle nicht weiter.
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Hallo MissTake,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle nat.
> Zahlen [mm]n\ge1[/mm] die Gültigkeit folgender Gleichung:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}[/mm] * k² = [mm](-1)^n^-^1[/mm] *
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> A(1): [mm]\summe_{k=1}^{1} (-1)^k^-^1[/mm] * k² = -1 und
> [mm](-1)^n^-^1[/mm] * [mm]\bruch{1*(1+1)}{2}[/mm] = -1 also gilt der
> Induktionsanfang.
Hmm, ich erhalte da auf beiden Seiten 1, es ist doch [mm] $(-1)^{\red{1}-1}=(-1)^0=1$ [/mm] ...
>
> A(n)=> A(n+1):
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k^-^1[/mm] * k² = [mm](-1)^n^-^1[/mm] *
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> =>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k^-^1[/mm] * k² = [mm](-1)^n[/mm] *
> [mm]\bruch{(n+1)*(n+2)}{2}[/mm]
>
> Nun gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k^-^1[/mm] * k² = [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k^-^1[/mm]
> * k² + [mm](-1)^n \*[/mm] (n+1)² = [mm](-1)^n^-^1[/mm] * [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> + [mm](-1)^n[/mm] * (n+1)²
>
> n.z.z.
> [mm](-1)^n^-^1 \* \bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] + [mm](-1)^n[/mm] * (n+1)² =
> [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)*(n+2)}{2}[/mm]
>
> <=> [mm](-1)^n^-^1 \*[/mm] n + [mm](-1)^n \* (n+1)\*2[/mm] = [mm](-1)^n \*[/mm] (n+2) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (habe also mit bruch{2)}{n+1} multipliziert)
bis hierher sieht das ok aus
> <=> [mm]-n^n^-^1[/mm] + [mm](-n^n -1^n)\*2[/mm] = [mm]-n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm]
Hmm, was ist hier passiert?
> <=> [mm]-n^n^-^1[/mm] - [mm]2n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm] = [mm]-n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm]
> <=> [mm]-n^n^-^1[/mm] - [mm]2n^n[/mm] = [mm]-n^n[/mm]
>
> Vielleicht stecken ja nun weniger Fehler drin *langsam
> verzweifel*
> Leider wüsste ich falls es richtig ist hier an dieser
> Stelle nicht weiter.
Das war schon nicht schlecht, versuche vllt. besser anstatt der Äquivalenzumformungen, die dich (gerade bei komplizierteren Sachen) in Teufels Küche bringen können, die linke Seite der Ind.beh. herzunehmen und mit Hilfe der Ind.vor. so umzuformen, dass die rechte Seite der Ind.beh. am Ende dasteht:
Konkret heißt das:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2=\underbrace{....}_{\text{deine Umformungen}}=(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2} [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2$
[/mm]
Nun multipliziere den ersten Term mit [mm] $\frac{-1}{-1}$, [/mm] also effektiv mit 1, das ändert also nix am Wert 
[mm] $=\frac{-1}{-1}\cdot{}(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2} [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2$
[/mm]
[mm] $=(-1)^n\cdot{}\left(-\frac{n(n+1)}{2}\right) [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2$
[/mm]
die eine -1 steckt nun im Exponenten, die andere als -1 vor dem Bruch, klar?
Nun kannst du [mm] $(-1)^n$ [/mm] ausklammern ...
Dann noch ein bissl zusammenfassen und du hast es
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 26.08.2008 | | Autor: | MissTake |
> Nun multipliziere den ersten Term mit [mm]\frac{-1}{-1}[/mm], also
> effektiv mit 1, das ändert also nix am Wert
>
> [mm]=\frac{-1}{-1}\cdot{}(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2} \ + \ (-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2[/mm]
>
> [mm]=(-1)^n\cdot{}\left(-\frac{n(n+1)}{2}\right) \ + \ (-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2[/mm]
>
> die eine -1 steckt nun im Exponenten, die andere als -1 vor
> dem Bruch, klar?
>
Was ich nun nicht verstehe wie aus dem [mm] (-1)^n^-^1 [/mm] wenn man das mit [mm] \bruch{-1}{-1} [/mm] multipliziert [mm] (-1)^n [/mm] werden kann.
Wenn ich das dann aber ausrechne:
[mm] (-1)^n \* [/mm] (- [mm] \bruch{n(n+1)}{2}) [/mm] + [mm] (-1)^n \* [/mm] (n+1)² = [mm] (-1)^n \* (\bruch{(n+1)\*(n+2)}{2}
[/mm]
<=> [mm] (-1)^n [/mm] ((- [mm] \bruch{n(n+1)}{2}) [/mm] + (n+1)²) = [mm] (-1)^n \* (\bruch{(n+1)\*(n+2)}{2}
[/mm]
<=> [mm] (-1)^n \* [/mm] (-n + 2n + 2) = [mm] (-1)^n \* [/mm] (n+2)
<=> [mm] -n^n [/mm] - [mm] 2^n [/mm] = [mm] -n^n [/mm] - [mm] 2^n
[/mm]
Richtig? Aufgabe gelöst?
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Hallo nochmal,
> > Nun multipliziere den ersten Term mit [mm]\frac{-1}{-1}[/mm], also
> > effektiv mit 1, das ändert also nix am Wert
> >
> > [mm]=\frac{-1}{-1}\cdot{}(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2} \ + \ (-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2[/mm]
>
> >
> > [mm]=(-1)^n\cdot{}\left(-\frac{n(n+1)}{2}\right) \ + \ (-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2[/mm]
>
> >
> > die eine -1 steckt nun im Exponenten, die andere als -1 vor
> > dem Bruch, klar?
> >
>
>
> Was ich nun nicht verstehe wie aus dem [mm](-1)^n^-^1[/mm] wenn man
> das mit [mm]\bruch{-1}{-1}[/mm] multipliziert [mm](-1)^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
werden kann.
Es ist doch $\frac{-1}{-1}=(-1)\cdot{}(-1) \ \big(=1\big)$
Also $\frac{-1}{-1}\cdot{}(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}$
$=\green{(-1)}\cdot{}\red{(-1)^1\cdot{}(-1)^{n-1}\cdot{}\green{\frac{n(n+1)}{2}}$
Nun benutze das Potenzgesetz: $a^m\cdot{}a^n=a^{m+n}$
$=\red{(-1)^{1+(n-1)}\cdot{}\green{\left((-1)\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}\right)}$
$=\red{(-1)^n}\cdot{}\green{\left(-\frac{n(n+1)}{2}\right)}$
>
> Wenn ich das dann aber ausrechne:
> [mm](-1)^n \*[/mm] (- [mm]\bruch{n(n+1)}{2})[/mm] + [mm](-1)^n \*[/mm] (n+1)² = [mm](-1)^n \* (\bruch{(n+1)\*(n+2)}{2}[/mm]
> <=> [mm](-1)^n[/mm] ((- [mm]\bruch{n(n+1)}{2})[/mm] + (n+1)²) = [mm](-1)^n \* (\bruch{(n+1)\*(n+2)}{2}[/mm]
>
> <=> [mm](-1)^n \*[/mm] (-n + 2n + 2) = [mm](-1)^n \*[/mm] (n+2)
In der Klammer auf der linken Seite steht ja -n+2n+2, das ist =n+2
Damit sind beide Seiten gleich
> <=> [mm]-n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm] = [mm]-n^n[/mm] - [mm]2^n[/mm]
Es ist [mm] $(-1)^n(n+2)\neq -n^n-2^n$ [/mm] !!
>
>
> Richtig? Aufgabe gelöst?
Ja, lasse aber die letzte (und falsche) Zeile weg, dann passt es.
Aber eigentlich wollte ich dich dahin bringen, dass du nur die linke Seite umformst und am Schluss die rechte Seite dastehen hast:
Da waren wir bei:
[mm] $...=(-1)^n\cdot{}\left[-\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)^2\right]$
[/mm]
[mm] $=(-1)^n\cdot{}\left[\frac{-n^2-n}{2}+\frac{2n^2+4n+2}{2}\right]$
[/mm]
[mm] $=(-1)^n\cdot{}\left[\frac{n^2+3n+2}{2}\right]$
[/mm]
[mm] $=(-1)^n\cdot{}\left[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right]$
[/mm]
Also genau die rechte Seite der induktionsbehauptung.
Hier klappt das zwar schön mit den Äquivalenzumformungen, aber wenn du schwierigere Aufgaben hast mit Ungleichungen oder ähnlichem, dann kann das heikel werden.
"Sicherer" ist i.A. der Weg, sich die linke Seite der Induktionsbehauptung herzunehmen, sie so umzuformen, dass man die Induktionsvoraussetzung einbauen kann und schlussendlich die rechte Seite der Induktionsbehauptung herausbekommt, so wie ich am Schluss geschrieben habe.
Aber für diese Aufgabe ist dein Weg natürlich (auch) richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
schachuzipus
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