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| Aufgabe | Sei [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm] eine streng monoton wachsende, stetige Funktion. Betrachten Sie die Metrik [mm]d: \IR \rightarrow \IR^+\cup \{0\}, (x,y) \to \left| f(x)-f(y) \right|.[/mm]
a) Zeigen Sie:
[mm]f [/mm] beschränkt[mm]\Rightarrow (\IR,d)[/mm] ist nicht vollständig
b) Zeigen Sie, dass dagegen folgendes gilt:
[mm]f[/mm] nach oben und unten unbeschränkt[mm]\Rightarrow (\IR,d)[/mm] ist vollständig. |
Hallo!
Ich komme hier leider auf keinen grünen Zweig...
a) ich muß also eine Cauchy-Folge finden, die mit dieser Metrik nicht konvergiert. Ich weiß also für [mm](x_n)[/mm] Cauchy-Folge, dass für beliebiges [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]N \in \IN[/mm] existiert, sodass für alle [mm]n,m>=N[/mm] gilt: [mm]\left| f(x_n)-f(x_m) \right| < \epsilon[/mm] und dass ein [mm]C \in \IR[/mm] existiert, sodass [mm]\left| f(x)\right| < C[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm]. Jetzt sollte man vll. annehmen diese Folge hätte einen Grenzwert und das irgendwie zu einem Widerspruch führen, nur wie?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte! Vielen Dank schonmal
couldbeworse
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
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> Sei [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm] eine streng monoton wachsende,
> stetige Funktion. Betrachten Sie die Metrik [mm]d: \IR \rightarrow \IR^+\cup \{0\}, (x,y) \to \left| f(x)-f(y) \right|.[/mm]
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> a) Zeigen Sie:
> [mm]f[/mm] beschränkt[mm]\Rightarrow (\IR,d)[/mm] ist nicht vollständig
>
> b) Zeigen Sie, dass dagegen folgendes gilt:
> [mm]f[/mm] nach oben und unten unbeschränkt[mm]\Rightarrow (\IR,d)[/mm] ist
> vollständig.
> Hallo!
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> Ich komme hier leider auf keinen grünen Zweig...
>
> a) ich muß also eine Cauchy-Folge finden, die mit dieser
> Metrik nicht konvergiert. Ich weiß also für [mm](x_n)[/mm]
> Cauchy-Folge, dass für beliebiges [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]N \in \IN[/mm]
> existiert, sodass für alle [mm]n,m>=N[/mm] gilt: [mm]\left| f(x_n)-f(x_m) \right| < \epsilon[/mm]
> und dass ein [mm]C \in \IR[/mm] existiert, sodass [mm]\left| f(x)\right| < C[/mm]
> für alle [mm]x \in \IR[/mm]. Jetzt sollte man vll. annehmen diese
> Folge hätte einen Grenzwert und das irgendwie zu einem
> Widerspruch führen, nur wie?
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> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
> Vielen Dank schonmal
>
> couldbeworse
>
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen
> gestellt.
Du nimmst dir einfach eine Folge, die gegen unendlich strebt, z.B. [mm] x_n=n.
[/mm]
Da f monoton und beschränkt ist, existiert [mm] lim_{n\to\infty}f(x_n)=lim_{x\to\infty}f(x).
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] x_n [/mm] bezüglich d Cauchy-Folge ist. Sie hat aber keinen Grenzwert in [mm] \IR.
[/mm]
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