Vollständigkeit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mo 03.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Überprüfen Sie den metrischen Raum (M; d) auf Vollständigkeit, wobei
(i) M = [mm] \IQ, [/mm] d(x, y) := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \not=y \mbox \\ 0, & \mbox{für } x = y \mbox \end{cases} [/mm] diskrete Metrik auf [mm] \IQ
[/mm]
(ii) M = [mm] \IR, [/mm] d(x, y) := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \not=y \mbox \\ 0, & \mbox{für } x = y \mbox \end{cases} [/mm] diskrete Metrik auf [mm] \IR
[/mm]
(iii) M = [mm] \IR, [/mm] d(x; y) := |arctan(x) - arctan(y)| |
Hallo.
Da wir das in der Vorlesung noch nicht hatten, würde ich mich freuen, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte, damit ich hier weiter komme. Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie den metrischen Raum (M; d) auf
> Vollständigkeit, wobei
>
> (i) M = [mm]\IQ,[/mm] d(x, y) := [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \not=y \mbox \\ 0, & \mbox{für } x = y \mbox \end{cases}[/mm]
> diskrete Metrik auf [mm]\IQ[/mm]
>
>
> (ii) M = [mm]\IR,[/mm] d(x, y) := [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \not=y \mbox \\ 0, & \mbox{für } x = y \mbox \end{cases}[/mm]
> diskrete Metrik auf [mm]\IR[/mm]
>
>
> (iii) M = [mm]\IR,[/mm] d(x; y) := |arctan(x) - arctan(y)|
> Hallo.
>
> Da wir das in der Vorlesung noch nicht hatten, würde ich
> mich freuen, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte,
> damit ich hier weiter komme. Vielen Dank schonmal.
Ein metrischer Raum (M,d) heißt vollständig, wenn es zu jeder Cauchyfolge [mm] (x_n) [/mm] in M ein [mm] x_0 \in [/mm] M gibt mit:
[mm] x_n \to x_0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 03.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Also soll das heißen, dass der Grenzwert immer in der Menge M liegen muss?
Also bei (i) muss jeder Grenzwert [mm] \in \IQ [/mm] sein, bei (ii) und (iii) muss der Grenzwert [mm] \in \IR [/mm] sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also soll das heißen, dass der Grenzwert immer in der
> Menge M liegen muss?
>
> Also bei (i) muss jeder Grenzwert [mm]\in \IQ[/mm] sein, bei (ii)
> und (iii) muss der Grenzwert [mm]\in \IR[/mm] sein?
Oh , mann !
1. Ist Dir klar, was eine Cauchyfolge in einem metr. Raum ist ? Wenn ja, dann schreib das mal hin.
2. Ist Dir bekannt, dass es metrische Räume gibt, in denen es Cauchyfolgen gibt , die nicht konvergieren ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mo 03.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Also soll das heißen, dass der Grenzwert immer in der
> > Menge M liegen muss?
> >
> > Also bei (i) muss jeder Grenzwert [mm]\in \IQ[/mm] sein, bei (ii)
> > und (iii) muss der Grenzwert [mm]\in \IR[/mm] sein?
>
> Oh , mann !
Ja sorry, ich bin leider nicht allwissend und bei mir brauchen Dinge ein wenig, bis das Verständnis komplett vorhanden ist.
>
> 1. Ist Dir klar, was eine Cauchyfolge in einem metr. Raum
> ist ? Wenn ja, dann schreib das mal hin.
Eine Folge [mm] (x_n)_n_\in_\IN [/mm] von Elementen in M heißt dann Chauchy Folge wenn
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] . [mm] \forall [/mm] m,n [mm] \ge [/mm] N : [mm] d(x_m, x_n) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
>
> 2. Ist Dir bekannt, dass es metrische Räume gibt, in denen
> es Cauchyfolgen gibt , die nicht konvergieren ?
Nein, wusste ich nicht.
Was kann ich nun damit machen bezüglich der Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Also soll das heißen, dass der Grenzwert immer in der
> > > Menge M liegen muss?
> > >
> > > Also bei (i) muss jeder Grenzwert [mm]\in \IQ[/mm] sein, bei (ii)
> > > und (iii) muss der Grenzwert [mm]\in \IR[/mm] sein?
> >
> > Oh , mann !
>
> Ja sorry, ich bin leider nicht allwissend und bei mir
> brauchen Dinge ein wenig, bis das Verständnis komplett
> vorhanden ist.
>
> >
> > 1. Ist Dir klar, was eine Cauchyfolge in einem metr. Raum
> > ist ? Wenn ja, dann schreib das mal hin.
>
> Eine Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN[/mm] von Elementen in M heißt dann
> Chauchy Folge wenn
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] . [mm]\forall[/mm] m,n [mm]\ge[/mm]
> N : [mm]d(x_m, x_n)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> >
> > 2. Ist Dir bekannt, dass es metrische Räume gibt, in denen
> > es Cauchyfolgen gibt , die nicht konvergieren ?
>
> Nein, wusste ich nicht.
>
> Was kann ich nun damit machen bezüglich der Aufgabe?
Z.b: bei (i)
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in (M,d). Zu [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] gibt es dann ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] d(x_n,x_m)<1/2 [/mm] für alle n,m >N.
Ist Dir klar, dass nun folgt: [mm] d(x_n,x_m)=0 [/mm] für alle n,m > N ?
Also gibt es ein c [mm] \in \IQ [/mm] mit: [mm] x_n [/mm] =c für alle n >N.
Ist [mm] (x_n) [/mm] nun konvergent in [mm] (\IQ,d) [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 03.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > > > Also soll das heißen, dass der Grenzwert immer in der
> > > > Menge M liegen muss?
> > > >
> > > > Also bei (i) muss jeder Grenzwert [mm]\in \IQ[/mm] sein, bei (ii)
> > > > und (iii) muss der Grenzwert [mm]\in \IR[/mm] sein?
> > >
> > > Oh , mann !
> >
> > Ja sorry, ich bin leider nicht allwissend und bei mir
> > brauchen Dinge ein wenig, bis das Verständnis komplett
> > vorhanden ist.
> >
> > >
> > > 1. Ist Dir klar, was eine Cauchyfolge in einem metr. Raum
> > > ist ? Wenn ja, dann schreib das mal hin.
> >
> > Eine Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN[/mm] von Elementen in M heißt dann
> > Chauchy Folge wenn
> >
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] . [mm]\forall[/mm] m,n [mm]\ge[/mm]
> > N : [mm]d(x_m, x_n)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> > >
> > > 2. Ist Dir bekannt, dass es metrische Räume gibt, in denen
> > > es Cauchyfolgen gibt , die nicht konvergieren ?
> >
> > Nein, wusste ich nicht.
> >
> > Was kann ich nun damit machen bezüglich der Aufgabe?
>
>
> Z.b: bei (i)
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Cauchyfolge in (M,d). Zu [mm]\varepsilon=1/2[/mm]
> gibt es dann ein N [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]d(x_n,x_m)<1/2[/mm] für alle n,m >N.
>
> Ist Dir klar, dass nun folgt: [mm]d(x_n,x_m)=0[/mm] für alle n,m >
> N ?
Das kann ja eigentlich nur folgen, da es ja nur 2 Abstände in dieser Metrik gibt. Dementsprechend würde das heißen, dass man dann aber nur gleiche Punkte betrachtet oder?
> Also gibt es ein c [mm]\in \IQ[/mm] mit: [mm]x_n[/mm] =c für alle n >N.
>
> Ist [mm](x_n)[/mm] nun konvergent in [mm](\IQ,d)[/mm] ?
Ich würde sagen ja.
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > Also soll das heißen, dass der Grenzwert immer in der
> > > > > Menge M liegen muss?
> > > > >
> > > > > Also bei (i) muss jeder Grenzwert [mm]\in \IQ[/mm] sein, bei (ii)
> > > > > und (iii) muss der Grenzwert [mm]\in \IR[/mm] sein?
> > > >
> > > > Oh , mann !
> > >
> > > Ja sorry, ich bin leider nicht allwissend und bei mir
> > > brauchen Dinge ein wenig, bis das Verständnis komplett
> > > vorhanden ist.
> > >
> > > >
> > > > 1. Ist Dir klar, was eine Cauchyfolge in einem metr. Raum
> > > > ist ? Wenn ja, dann schreib das mal hin.
> > >
> > > Eine Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN[/mm] von Elementen in M heißt dann
> > > Chauchy Folge wenn
> > >
> > > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] . [mm]\forall[/mm] m,n [mm]\ge[/mm]
> > > N : [mm]d(x_m, x_n)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> > >
> > > >
> > > > 2. Ist Dir bekannt, dass es metrische Räume gibt, in denen
> > > > es Cauchyfolgen gibt , die nicht konvergieren ?
> > >
> > > Nein, wusste ich nicht.
> > >
> > > Was kann ich nun damit machen bezüglich der Aufgabe?
> >
> >
> > Z.b: bei (i)
> >
> > Sei [mm](x_n)[/mm] eine Cauchyfolge in (M,d). Zu [mm]\varepsilon=1/2[/mm]
> > gibt es dann ein N [mm]\in \IN[/mm] mit:
> >
> > [mm]d(x_n,x_m)<1/2[/mm] für alle n,m >N.
> >
> > Ist Dir klar, dass nun folgt: [mm]d(x_n,x_m)=0[/mm] für alle n,m >
> > N ?
>
> Das kann ja eigentlich nur folgen, da es ja nur 2 Abstände
> in dieser Metrik gibt. Dementsprechend würde das heißen,
> dass man dann aber nur gleiche Punkte betrachtet oder?
sozusagen: Es folgt (etwa) [mm] $x_m=x_{N+1}$ [/mm] für alle $m > [mm] N\,.$ [/mm] Anders gesagt:
Ab dem Index [mm] $N+1\,$ [/mm] ist die Folge konstant [mm] ($=c:=x_{N+1}$)!
[/mm]
> > Also gibt es ein c [mm]\in \IQ[/mm] mit: [mm]x_n[/mm] =c für alle n >N.
> >
> > Ist [mm](x_n)[/mm] nun konvergent in [mm](\IQ,d)[/mm] ?
>
> Ich würde sagen ja.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Denn: Wie groß oder klein auch immer [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ sei, wir wählen einfach
das obige [mm] $N\,,$ [/mm] welches zu [mm] $\varepsilon_0:=1/2 [/mm] > 0$ "passend" gefunden wurde.
Dann gilt mit [mm] $c:=x_{N+1}:$
[/mm]
[mm] $$d(x_n,c)=d(c,c)=0 [/mm] < [mm] \epsilon\;\;\; \text{ für alle }n [/mm] > [mm] N\,.$$
[/mm]
Also gilt [mm] $x_k \to [/mm] c$ bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] mit $c [mm] \in \IQ\,,$ [/mm] da [mm] $(x_k)_k$ [/mm] ja Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] war, und daher
insbesondere [mm] $x_{N+1}=c \in \IQ$ [/mm] gelten muss!
So: Und wenn Du jetzt mal ganz genau hinguckst, dann schreibst Du das
nicht so speziell auf, sondern beweist:
Ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum, so dass speziell [mm] $d\,$ [/mm] die diskrete Metrik auf
[mm] $X\,$ [/mm] sei, dann ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] schon vollständig.
Beweis: Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Cauchyfolge in [mm] $X\,.$ [/mm] Sei [mm] $\varepsilon_0:=1/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann existiert
ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass...
(Du kannst auch kurz schreiben: "Wir beweisen, dass in dem metrischen
Raum, wo die Metrik speziell die diskrete ist, Cauchyfolgen ab einem gewissen Index
konstant sein müssen; d.h., "ein Endglied der Folge ist konstant!"")
Und dann schreibst Du: Wegen der zuvor bewiesenen Aussage ergibt sich
sofort die Vollständigkeit der metrischen Räume aus Aufgabe (i) bzw. (ii).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Na dann probier ich das mal.
Zu überprüfen: Ob (M,d) vollständig ist.
Z.z. Sei [mm] (x_n)_n_\in_\IN [/mm] beliebige Cauchyfolge in M.
Sei [mm] \varepsilon_0 [/mm] := [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > 0, zu diesem existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] d(x_n, x_m) [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] . [mm] \forall [/mm] n,m > N.
Desweiteren existiert ein [mm] x_m [/mm] = [mm] x_{N+1} [/mm] . [mm] \forall [/mm] m > N
Nun folgt wegen der festgelegten diskreten Metrik auf [mm] \IQ: d(x_n, x_m) [/mm] = 0 . [mm] \forall [/mm] n,m > N.
Somit ist (M,d) ein vollständiger Metrischer Raum.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 04.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Na dann probier ich das mal.
>
> Zu überprüfen: Ob (M,d) vollständig ist.
>
> Z.z. Sei [mm](x_n)_n_\in_\IN[/mm] beliebige Cauchyfolge in M.
> Sei [mm]\varepsilon_0[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}[/mm] > 0, zu diesem existiert
> ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]d(x_n, x_m)[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] . [mm]\forall[/mm] n,m
> > N.
> Desweiteren existiert ein [mm]x_m[/mm] = [mm]x_{N+1}[/mm] . [mm]\forall[/mm] m > N
Was soll das denn ?
>
> Nun folgt wegen der festgelegten diskreten Metrik auf [mm]\IQ: d(x_n, x_m)[/mm]
> = 0 . [mm]\forall[/mm] n,m > N.
Ja, und damit ist [mm] x_n=x_{N+1} [/mm] für alle n>N
>
> Somit ist (M,d) ein vollständiger Metrischer Raum.
da fehlt doch das Wichtigste !
Wieso hat nun [mm] (x_n) [/mm] einen Grenzwert in M ???
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 04.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Na dann probier ich das mal.
> >
> > Zu überprüfen: Ob (M,d) vollständig ist.
> >
> > Z.z. Sei [mm](x_n)_n_\in_\IN[/mm] beliebige Cauchyfolge in M.
> > Sei [mm]\varepsilon_0[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}[/mm] > 0, zu diesem existiert
> > ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]d(x_n, x_m)[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] . [mm]\forall[/mm] n,m
> > > N.
> > Desweiteren existiert ein [mm]x_m[/mm] = [mm]x_{N+1}[/mm] . [mm]\forall[/mm] m >
> N
>
> Was soll das denn ?
> >
> > Nun folgt wegen der festgelegten diskreten Metrik auf [mm]\IQ: d(x_n, x_m)[/mm]
> > = 0 . [mm]\forall[/mm] n,m > N.
>
> Ja, und damit ist [mm]x_n=x_{N+1}[/mm] für alle n>N
> >
> > Somit ist (M,d) ein vollständiger Metrischer Raum.
>
> da fehlt doch das Wichtigste !
>
> Wieso hat nun [mm](x_n)[/mm] einen Grenzwert in M ???
Weil es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 einen Index N gibt, sodass für alle natürlichen Zahlen n,m [mm] \ge [/mm] N der Abstand der entsprechenden Folgeglieder [mm] d(x_n, x_m) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Di 04.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Na dann probier ich das mal.
> > >
> > > Zu überprüfen: Ob (M,d) vollständig ist.
> > >
> > > Z.z. Sei [mm](x_n)_n_\in_\IN[/mm] beliebige Cauchyfolge in M.
> > > Sei [mm]\varepsilon_0[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}[/mm] > 0, zu diesem existiert
> > > ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]d(x_n, x_m)[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] . [mm]\forall[/mm] n,m
> > > > N.
> > > Desweiteren existiert ein [mm]x_m[/mm] = [mm]x_{N+1}[/mm] . [mm]\forall[/mm] m
> >
> > N
> >
> > Was soll das denn ?
> > >
> > > Nun folgt wegen der festgelegten diskreten Metrik auf [mm]\IQ: d(x_n, x_m)[/mm]
> > > = 0 . [mm]\forall[/mm] n,m > N.
> >
> > Ja, und damit ist [mm]x_n=x_{N+1}[/mm] für alle n>N
> > >
> > > Somit ist (M,d) ein vollständiger Metrischer Raum.
> >
> > da fehlt doch das Wichtigste !
> >
> > Wieso hat nun [mm](x_n)[/mm] einen Grenzwert in M ???
>
>
> Weil es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 einen Index N gibt, sodass
> für alle natürlichen Zahlen n,m [mm]\ge[/mm] N der Abstand der
> entsprechenden Folgeglieder [mm]d(x_n, x_m)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ist.
>
Du hast nur nochmal hingeschrieben, dass [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 04.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Und da es eine Cauchyfolge gibt, gibt es auch eine Grenzwert. Der Abstand der Folgeglieder ist ab einem Index dann kleiner als [mm] \varepsilon. [/mm] Das zeigt mir die Konvergenz.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und da es eine Cauchyfolge gibt, gibt es auch eine
> Grenzwert. Der Abstand der Folgeglieder ist ab einem Index
> dann kleiner als [mm]\varepsilon.[/mm] Das zeigt mir die Konvergenz.
nein, das gilt ja eben (so allgemein) NUR in vollständigen metrischen
Räumen.
(Beachte bitte: Konvergente Folgen sind stets Cauchyfolgen, aber umgekehrtes
gilt eben i.a. nicht!)
So, nochmal:
Ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] - wobei [mm] $X\,$ [/mm] irgendeine Menge und [mm] $d\,$ [/mm] die diskrete Metrik auf [mm] $X\,$ [/mm] ist (übrigens
mal nebenbei erwähnt: [mm] $d\colon [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR\,,$ [/mm] d.h. der Definitionsbereich von [mm] $d\,$ [/mm] ist $X [mm] \times [/mm] X$!),
so ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] automatisch schon ein vollständiger metrischer Raum.
Beweis:
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Cauchyfolge in [mm] $X\,.$
[/mm]
1. Wir zeigen: Es gibt ein "Endstück" der Folge [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] das konstant ist.
(Formal bedeutet das: Es existiert ein [mm] $N_0$ [/mm] so, dass [mm] $(x_n)_{n \ge N_0}$ [/mm] konstant ist!)
Dazu sei [mm] $\epsilon:=1/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Cauchy ist, gibt es zu diesem [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] ein [mm] $N=N_{1/2}$
[/mm]
so, dass
[mm] $d(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \epsilon=1/2$ [/mm] für alle $n,m > [mm] N\,.$
[/mm]
Setze nun [mm] $N_0:=N+1$ [/mm] und führe den Beweis nun zu Ende!
2. Wir zeigen, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen ein Element in [mm] $X\,$ [/mm] konvergiert: Sei dazu das
[mm] $N=N_{1/2}$ [/mm] das, dass wir in 1. gefunden haben. Wir definieren [mm] $c:=x_{N+1}=x_{N_0}\,.$ [/mm]
Wir beachten auch: Weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Folge in [mm] $X\,$ [/mm] war, gilt [mm] $x_n \in [/mm] X$ für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Also
insbesondere auch [mm] $x_{N_0} \in X\,.$
[/mm]
Behauptung: Dann gilt [mm] $x_n \to [/mm] c$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Beweis: Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Jetzt Du!
P.S. Der "Teilbeweis" zu 2. ist so trivial, dass man eigentlich den Beweis hier
schon nach 1. beenden könnte: Denn das konstante Folgen gegen den
konstanten Wert konvergieren, ist wirklich trivial einzusehen. Und genauso
trivial ist es einzusehen, dass, wenn eine Folge ein "konstantes Endstück
hat", diese gegen den Wert konvergiert, der bei einem konstanten Endstück
nur noch vorkommt. Aber für ungeübte ist es vielleicht noch nicht ganz
trivial, und damit Du siehst, dass es trivial ist, sollst Du es halt mal ausführlich
hinschreiben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > 2. Ist Dir bekannt, dass es metrische Räume gibt, in denen
> > es Cauchyfolgen gibt , die nicht konvergieren ?
>
> Nein, wusste ich nicht.
betrachte das ![[]](/images/popup.gif) Babylonische Wurzelziehen, S.40, interne Zählung.
Damit kannst Du etwa direkt eine Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] angeben, die gegen [mm] $\sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] konvergiert.
Wir beachten [mm] $\IQ \subseteq \IR\,.$ [/mm] Diese Folge konvergiert in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Damit ist sie auch Cauchyfolge in [mm] $\IR\,,$ [/mm]
und weil die Metrik in [mm] $\IQ$ [/mm] die Einschränkung der Metrik von [mm] $\IR$ [/mm] auf [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] ist,
folgt, dass diese Folge auch eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ\,$ [/mm] ist. In [mm] $\IQ$ [/mm] kann sie aber
wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes in metrischen Räumen nicht konvergieren!
Gruß,
Marcel
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