Vollständigkeit & Abgeschl. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Betrachte die Funktionenmenge: [mm] $$F:=\left\{f\inC^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}$$
[/mm]
Zeigen oder wiederlegen Sie:
(i) F ist linearer Raum
(ii) Durch [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel_k:=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f^{(k)}(x)|$ [/mm] wird eine Norm auf F definiert.
(iii) Mit dieser Norm ist F ein Banachraum |
| Aufgabe 2 | | Betrachten Sie die Banachräume [mm] $X:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$ [/mm] und [mm] $Y:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$ [/mm] mit der Supremumsnorm. Ist die Menge [mm] $$P:=C^0([-1,1],(0,\infty))$$ [/mm] eine offene Teilmenge von X? Ist P eine offene Teilmenge von Y? |
Guten Abend zusammen,
ich sitze gerade an diesen Aufgaben und komme nicht richtig weiter.
Für die 1. Aufgabe habe ich die (i) und die (ii) bereits gelöst, mit dem Ergebnis, dass F linearer Raum ist und [mm] $\parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] _1$ eine Norm auf F ist. jedoch alle anderen Abbildungen nicht, da z.b. mit dem Polynom [mm] $1-2x\in [/mm] F$ die Definitheit verletzt wird.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich widerlegen oder zeigen kann, dass F mit dieser Norm ein Banachraum ist.
Bei der 2. Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
Ich habe bereits versucht die Menge als Schnitte oder vereinigungen zu schreiben. Komme aber nur auf Darstellungen, mit denen die Offenheit nicht offensichlicher wird, z.B.:$$ [mm] P=\bigcap\limits_{x\in[-1,1]}{ \left\{ f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)>0 \right\} }, [/mm] $$ bzw. [mm] $$P^C=\bigcup\limits_{x\in[-1,1]}{\left\{f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)\leq 0 \right\} }$$
[/mm]
Das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
DudiPupan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte die Funktionenmenge:
> [mm]F:=\left\{f\inC^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
Dem Quelltext entnehme ich:
[mm]F:=\left\{f \in C^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
F besteht also aus stetigen Funktionen $f:[0,1] [mm] \to \IR$
[/mm]
> Zeigen oder wiederlegen Sie:
> (i) F ist linearer Raum
> (ii) Durch [mm]\parallel f \parallel_k:=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f^{(k)}(x)|[/mm]
> wird eine Norm auf F definiert.
Hä ??? Was soll denn [mm] f^{(k)}(x) [/mm] bedeuten ? Die k-te Ableitung von f ? Wohl kaum, denn F besteht "nur" aus stetigen Funktionen !!
> (iii) Mit dieser Norm ist F ein Banachraum
> Betrachten Sie die Banachräume
> [mm]$X:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm] und [mm]$Y:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm]
Auch hier: hä ?? Worin unterscheiden sich denn X und Y ??? Durch nichts !
> mit der Supremumsnorm. Ist die Menge
> [mm]P:=C^0([-1,1],(0,\infty))[/mm] eine offene Teilmenge von X? Ist
> P eine offene Teilmenge von Y?
> Guten Abend zusammen,
>
> ich sitze gerade an diesen Aufgaben und komme nicht richtig
> weiter.
>
> Für die 1. Aufgabe habe ich die (i) und die (ii) bereits
> gelöst, mit dem Ergebnis, dass F linearer Raum ist und
> [mm]\parallel . \parallel _1[/mm] eine Norm auf F ist.
Wie hast Du das denn gemacht ? Wie gesagt: F besteht nur aus stetigen Funktionen-. Was soll dann [mm] ||*||_1 [/mm] sein ?
Für k=0 macht die Sache Sinn: [mm] ||*||_0 [/mm] ist dann die Maximumsnorm auf F.
> jedoch alle
> anderen Abbildungen nicht, da z.b. mit dem Polynom [mm]1-2x\in F[/mm]
> die Definitheit verletzt wird.
Was meinst Du damit ????
>
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich widerlegen oder zeigen
> kann, dass F mit dieser Norm ein Banachraum ist.
Für k=0 kann ich es Dir verraten: mit der Maximumsnorm ist [mm] C^0[0,1] [/mm] ein Bannachraum. Zeige: F ist ein, bezgl. der Max.-Norm, abgeschlossener Unterraum von [mm] C^0[0,1]. [/mm] Damit ist (F, [mm] ||*||_0) [/mm] ein Banachraum.
>
>
> Bei der 2. Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
> Ich habe bereits versucht die Menge als Schnitte oder
> vereinigungen zu schreiben. Komme aber nur auf
> Darstellungen, mit denen die Offenheit nicht
> offensichlicher wird, z.B.:[mm] P=\bigcap\limits_{x\in[-1,1]}{ \left\{ f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)>0 \right\} },[/mm]
> bzw. [mm]P^C=\bigcup\limits_{x\in[-1,1]}{\left\{f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)\leq 0 \right\} }[/mm]
>
> Das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.
Ich bez. mit [mm] ||*||_0 [/mm] wieder die Maximumsnorm.
$P$ ist offen: sei $f [mm] \in [/mm] P$ . Dann gibt es ein [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] so, dass [mm] f(x)\ge f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] ist. Es ist [mm] \varepsilon :=f(x_0)>0.
[/mm]
Zeige nun: ist g [mm] \in [/mm] X und [mm] ||f-g||_0 [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] so ist g [mm] \in [/mm] P.
FRED
> Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> DudiPupan
|
|
|
| |
|
Guten Morgen Fred,
Vielen Dank für deine Antwort und entschuldigung, dass mir so viele Fehler beim abtippen unterlaufen sind.
Richtig heißt es:
[mm]F:=\left\{f\in C^k([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> > Betrachte die Funktionenmenge:
> >
> [mm]F:=\left\{f\inC^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
>
> Dem Quelltext entnehme ich:
>
> [mm]F:=\left\{f \in C^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
>
> F besteht also aus stetigen Funktionen [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm]
>
>
>
> > Zeigen oder wiederlegen Sie:
> > (i) F ist linearer Raum
> > (ii) Durch [mm]\parallel f \parallel_k:=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f^{(k)}(x)|[/mm]
> > wird eine Norm auf F definiert.
>
>
> Hä ??? Was soll denn [mm]f^{(k)}(x)[/mm] bedeuten ? Die k-te
> Ableitung von f ? Wohl kaum, denn F besteht "nur" aus
> stetigen Funktionen !!
Mit der korrigierten Fassung macht das wieder Sinn!
>
>
> > (iii) Mit dieser Norm ist F ein Banachraum
> > Betrachten Sie die Banachräume
> > [mm]$X:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm] und [mm]$Y:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm]
>
Auch hier ein Fehler:
[mm] $Y:=C^0([-1,1],\mathbb{C})$
[/mm]
Sorry, war gestern etwas kaputt als ich das geschrieben habe.
> Auch hier: hä ?? Worin unterscheiden sich denn X und Y ???
> Durch nichts !
>
>
> > mit der Supremumsnorm. Ist die Menge
> > [mm]P:=C^0([-1,1],(0,\infty))[/mm] eine offene Teilmenge von X? Ist
> > P eine offene Teilmenge von Y?
> > Guten Abend zusammen,
> >
> > ich sitze gerade an diesen Aufgaben und komme nicht richtig
> > weiter.
> >
> > Für die 1. Aufgabe habe ich die (i) und die (ii) bereits
> > gelöst, mit dem Ergebnis, dass F linearer Raum ist und
> > [mm]\parallel . \parallel _1[/mm] eine Norm auf F ist.
>
> Wie hast Du das denn gemacht ? Wie gesagt: F besteht nur
> aus stetigen Funktionen-. Was soll dann [mm]||*||_1[/mm] sein ?
>
> Für k=0 macht die Sache Sinn: [mm]||*||_0[/mm] ist dann die
> Maximumsnorm auf F.
>
>
> > jedoch alle
> > anderen Abbildungen nicht, da z.b. mit dem Polynom [mm]1-2x\in F[/mm]
> > die Definitheit verletzt wird.
>
> Was meinst Du damit ????
>
Ich meinte hier:
für das Polynom gilt [mm] $\parallel [/mm] 1-2x [mm] \parallel_k=0$ [/mm] f.a. $k>1$ aber natürlich [mm] $1-2x\neq [/mm] 0$
>
> >
> > Jedoch weiß ich nicht, wie ich widerlegen oder zeigen
> > kann, dass F mit dieser Norm ein Banachraum ist.
>
> Für k=0 kann ich es Dir verraten: mit der Maximumsnorm ist
> [mm]C^0[0,1][/mm] ein Bannachraum. Zeige: F ist ein, bezgl. der
> Max.-Norm, abgeschlossener Unterraum von [mm]C^0[0,1].[/mm] Damit
> ist (F, [mm]||*||_0)[/mm] ein Banachraum.
>
>
> >
> >
> > Bei der 2. Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
> > Ich habe bereits versucht die Menge als Schnitte oder
> > vereinigungen zu schreiben. Komme aber nur auf
> > Darstellungen, mit denen die Offenheit nicht
> > offensichlicher wird, z.B.:[mm] P=\bigcap\limits_{x\in[-1,1]}{ \left\{ f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)>0 \right\} },[/mm]
> > bzw. [mm]P^C=\bigcup\limits_{x\in[-1,1]}{\left\{f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)\leq 0 \right\} }[/mm]
>
> >
> > Das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.
>
> Ich bez. mit [mm]||*||_0[/mm] wieder die Maximumsnorm.
>
> [mm]P[/mm] ist offen: sei [mm]f \in P[/mm] . Dann gibt es ein [mm]x_0 \in[/mm] [0,1]
> so, dass [mm]f(x)\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [0,1] ist. Es ist
> [mm]\varepsilon :=f(x_0)>0.[/mm]
>
> Zeige nun: ist g [mm]\in[/mm] X und [mm]||f-g||_0[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm] so ist
> g [mm]\in[/mm] P.
>
> FRED
>
> > Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> > DudiPupan
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen Fred,
>
> Vielen Dank für deine Antwort und entschuldigung, dass mir
> so viele Fehler beim abtippen unterlaufen sind.
> Richtig heißt es:
>
> [mm]F:=\left\{f\in C^k([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
Aha !
>
> > > Betrachte die Funktionenmenge:
> > >
> >
> [mm]F:=\left\{f\inC^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> >
> > Dem Quelltext entnehme ich:
> >
> > [mm]F:=\left\{f \in C^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
>
> >
> > F besteht also aus stetigen Funktionen [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm]
> >
>
> >
> >
> > > Zeigen oder wiederlegen Sie:
> > > (i) F ist linearer Raum
> > > (ii) Durch [mm]\parallel f \parallel_k:=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f^{(k)}(x)|[/mm]
> > > wird eine Norm auf F definiert.
> >
> >
> > Hä ??? Was soll denn [mm]f^{(k)}(x)[/mm] bedeuten ? Die k-te
> > Ableitung von f ? Wohl kaum, denn F besteht "nur" aus
> > stetigen Funktionen !!
> Mit der korrigierten Fassung macht das wieder Sinn!
> >
> >
> > > (iii) Mit dieser Norm ist F ein Banachraum
> > > Betrachten Sie die Banachräume
> > > [mm]$X:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm] und [mm]$Y:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm]
> >
>
> Auch hier ein Fehler:
> [mm]Y:=C^0([-1,1],\mathbb{C})[/mm]
Aha !
>
> Sorry, war gestern etwas kaputt als ich das geschrieben
> habe.
> > Auch hier: hä ?? Worin unterscheiden sich denn X und Y
> ???
> > Durch nichts !
> >
> >
> > > mit der Supremumsnorm. Ist die Menge
> > > [mm]P:=C^0([-1,1],(0,\infty))[/mm] eine offene Teilmenge von X? Ist
> > > P eine offene Teilmenge von Y?
> > > Guten Abend zusammen,
> > >
> > > ich sitze gerade an diesen Aufgaben und komme nicht richtig
> > > weiter.
> > >
> > > Für die 1. Aufgabe habe ich die (i) und die (ii) bereits
> > > gelöst, mit dem Ergebnis, dass F linearer Raum ist und
> > > [mm]\parallel . \parallel _1[/mm] eine Norm auf F ist.
> >
> > Wie hast Du das denn gemacht ? Wie gesagt: F besteht nur
> > aus stetigen Funktionen-. Was soll dann [mm]||*||_1[/mm] sein ?
> >
> > Für k=0 macht die Sache Sinn: [mm]||*||_0[/mm] ist dann die
> > Maximumsnorm auf F.
> >
> >
> > > jedoch alle
> > > anderen Abbildungen nicht, da z.b. mit dem Polynom [mm]1-2x\in F[/mm]
> > > die Definitheit verletzt wird.
> >
> > Was meinst Du damit ????
> >
>
> Ich meinte hier:
> für das Polynom gilt [mm]\parallel 1-2x \parallel_k=0[/mm] f.a.
> [mm]k>1[/mm] aber natürlich [mm]1-2x\neq 0[/mm]
Für k=1 hast Du aber auch keine Norm ! Nimm f(x)=1 (x [mm] \in [/mm] [0,1])
Dann ist [mm] ||f||_1=0.
[/mm]
Edit: obiges ist Quatsch von mir gewesen !
FRED
> >
> > >
> > > Jedoch weiß ich nicht, wie ich widerlegen oder zeigen
> > > kann, dass F mit dieser Norm ein Banachraum ist.
> >
> > Für k=0 kann ich es Dir verraten: mit der Maximumsnorm ist
> > [mm]C^0[0,1][/mm] ein Bannachraum. Zeige: F ist ein, bezgl. der
> > Max.-Norm, abgeschlossener Unterraum von [mm]C^0[0,1].[/mm] Damit
> > ist (F, [mm]||*||_0)[/mm] ein Banachraum.
> >
> >
> > >
> > >
> > > Bei der 2. Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
> > > Ich habe bereits versucht die Menge als Schnitte
> oder
> > > vereinigungen zu schreiben. Komme aber nur auf
> > > Darstellungen, mit denen die Offenheit nicht
> > > offensichlicher wird, z.B.:[mm] P=\bigcap\limits_{x\in[-1,1]}{ \left\{ f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)>0 \right\} },[/mm]
> > > bzw. [mm]P^C=\bigcup\limits_{x\in[-1,1]}{\left\{f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)\leq 0 \right\} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.
> >
> > Ich bez. mit [mm]||*||_0[/mm] wieder die Maximumsnorm.
> >
> > [mm]P[/mm] ist offen: sei [mm]f \in P[/mm] . Dann gibt es ein [mm]x_0 \in[/mm] [0,1]
> > so, dass [mm]f(x)\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [0,1] ist. Es ist
> > [mm]\varepsilon :=f(x_0)>0.[/mm]
> >
> > Zeige nun: ist g [mm]\in[/mm] X und [mm]||f-g||_0[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm] so ist
> > g [mm]\in[/mm] P.
> >
> > FRED
> >
> > > Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > DudiPupan
> >
|
|
|
| |
|
> > Guten Morgen Fred,
> >
> > Vielen Dank für deine Antwort und entschuldigung, dass mir
> > so viele Fehler beim abtippen unterlaufen sind.
> > Richtig heißt es:
> >
> > [mm]F:=\left\{f\in C^k([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
>
> Aha !
>
>
> >
> > > > Betrachte die Funktionenmenge:
> > > >
> > >
> >
> [mm]F:=\left\{f\inC^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> > >
> > > Dem Quelltext entnehme ich:
> > >
> > > [mm]F:=\left\{f \in C^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > F besteht also aus stetigen Funktionen [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm]
>
> > >
> >
> > >
> > >
> > > > Zeigen oder wiederlegen Sie:
> > > > (i) F ist linearer Raum
> > > > (ii) Durch [mm]\parallel f \parallel_k:=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f^{(k)}(x)|[/mm]
> > > > wird eine Norm auf F definiert.
> > >
> > >
> > > Hä ??? Was soll denn [mm]f^{(k)}(x)[/mm] bedeuten ? Die k-te
> > > Ableitung von f ? Wohl kaum, denn F besteht "nur" aus
> > > stetigen Funktionen !!
> > Mit der korrigierten Fassung macht das wieder Sinn!
> > >
> > >
> > > > (iii) Mit dieser Norm ist F ein Banachraum
> > > > Betrachten Sie die Banachräume
> > > > [mm]$X:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm] und [mm]$Y:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm]
> > >
> >
> > Auch hier ein Fehler:
> > [mm]Y:=C^0([-1,1],\mathbb{C})[/mm]
>
> Aha !
> >
> > Sorry, war gestern etwas kaputt als ich das geschrieben
> > habe.
> > > Auch hier: hä ?? Worin unterscheiden sich denn X und
> Y
> > ???
> > > Durch nichts !
> > >
> > >
> > > > mit der Supremumsnorm. Ist die Menge
> > > > [mm]P:=C^0([-1,1],(0,\infty))[/mm] eine offene Teilmenge von X? Ist
> > > > P eine offene Teilmenge von Y?
> > > > Guten Abend zusammen,
> > > >
> > > > ich sitze gerade an diesen Aufgaben und komme nicht richtig
> > > > weiter.
> > > >
> > > > Für die 1. Aufgabe habe ich die (i) und die (ii) bereits
> > > > gelöst, mit dem Ergebnis, dass F linearer Raum ist und
> > > > [mm]\parallel . \parallel _1[/mm] eine Norm auf F ist.
> > >
> > > Wie hast Du das denn gemacht ? Wie gesagt: F besteht nur
> > > aus stetigen Funktionen-. Was soll dann [mm]||*||_1[/mm] sein ?
> > >
> > > Für k=0 macht die Sache Sinn: [mm]||*||_0[/mm] ist dann die
> > > Maximumsnorm auf F.
> > >
> > >
> > > > jedoch alle
> > > > anderen Abbildungen nicht, da z.b. mit dem Polynom [mm]1-2x\in F[/mm]
> > > > die Definitheit verletzt wird.
> > >
> > > Was meinst Du damit ????
> > >
> >
> > Ich meinte hier:
> > für das Polynom gilt [mm]\parallel 1-2x \parallel_k=0[/mm] f.a.
> > [mm]k>1[/mm] aber natürlich [mm]1-2x\neq 0[/mm]
>
>
> Für k=1 hast Du aber auch keine Norm ! Nimm f(x)=1 (x [mm]\in[/mm]
> [0,1])
Aber [mm] $f\equiv [/mm] 1$ ist doch nicht aus F, oder?
[mm] $\int\limits_0^1f(x)dx=1\neq [/mm] 0$
Oder irre ich mich da?
Nochmals danke für die schnelle Antwort :)
>
> Dann ist [mm]||f||_1=0.[/mm]
>
> FRED
>
>
> > >
> > > >
> > > > Jedoch weiß ich nicht, wie ich widerlegen oder zeigen
> > > > kann, dass F mit dieser Norm ein Banachraum ist.
> > >
> > > Für k=0 kann ich es Dir verraten: mit der Maximumsnorm ist
> > > [mm]C^0[0,1][/mm] ein Bannachraum. Zeige: F ist ein, bezgl. der
> > > Max.-Norm, abgeschlossener Unterraum von [mm]C^0[0,1].[/mm] Damit
> > > ist (F, [mm]||*||_0)[/mm] ein Banachraum.
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Bei der 2. Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
> > > > Ich habe bereits versucht die Menge als Schnitte
> > oder
> > > > vereinigungen zu schreiben. Komme aber nur auf
> > > > Darstellungen, mit denen die Offenheit nicht
> > > > offensichlicher wird, z.B.:[mm] P=\bigcap\limits_{x\in[-1,1]}{ \left\{ f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)>0 \right\} },[/mm]
> > > > bzw. [mm]P^C=\bigcup\limits_{x\in[-1,1]}{\left\{f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)\leq 0 \right\} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.
> > >
> > > Ich bez. mit [mm]||*||_0[/mm] wieder die Maximumsnorm.
> > >
> > > [mm]P[/mm] ist offen: sei [mm]f \in P[/mm] . Dann gibt es ein [mm]x_0 \in[/mm] [0,1]
> > > so, dass [mm]f(x)\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [0,1] ist. Es ist
> > > [mm]\varepsilon :=f(x_0)>0.[/mm]
> > >
> > > Zeige nun: ist g [mm]\in[/mm] X und [mm]||f-g||_0[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm] so ist
> > > g [mm]\in[/mm] P.
> > >
> > > FRED
> > >
> > > > Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
> > > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > Liebe Grüße
> > > > DudiPupan
> > >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Guten Morgen Fred,
> > >
> > > Vielen Dank für deine Antwort und entschuldigung, dass mir
> > > so viele Fehler beim abtippen unterlaufen sind.
> > > Richtig heißt es:
> > >
> > > [mm]F:=\left\{f\in C^k([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
>
> >
> > Aha !
> >
> >
> > >
> > > > > Betrachte die Funktionenmenge:
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]F:=\left\{f\inC^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> > > >
> > > > Dem Quelltext entnehme ich:
> > > >
> > > > [mm]F:=\left\{f \in C^0([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > F besteht also aus stetigen Funktionen [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm]
>
> >
> > > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > Zeigen oder wiederlegen Sie:
> > > > > (i) F ist linearer Raum
> > > > > (ii) Durch [mm]\parallel f \parallel_k:=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f^{(k)}(x)|[/mm]
> > > > > wird eine Norm auf F definiert.
> > > >
> > > >
> > > > Hä ??? Was soll denn [mm]f^{(k)}(x)[/mm] bedeuten ? Die k-te
> > > > Ableitung von f ? Wohl kaum, denn F besteht "nur" aus
> > > > stetigen Funktionen !!
> > > Mit der korrigierten Fassung macht das wieder Sinn!
> > > >
> > > >
> > > > > (iii) Mit dieser Norm ist F ein Banachraum
> > > > > Betrachten Sie die Banachräume
> > > > > [mm]$X:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm] und [mm]$Y:=C^0([-1,1],\mathbb{R})$[/mm]
> > > >
> > >
> > > Auch hier ein Fehler:
> > > [mm]Y:=C^0([-1,1],\mathbb{C})[/mm]
> >
> > Aha !
> > >
> > > Sorry, war gestern etwas kaputt als ich das geschrieben
> > > habe.
> > > > Auch hier: hä ?? Worin unterscheiden sich denn X
> und
> > Y
> > > ???
> > > > Durch nichts !
> > > >
> > > >
> > > > > mit der Supremumsnorm. Ist die Menge
> > > > > [mm]P:=C^0([-1,1],(0,\infty))[/mm] eine offene Teilmenge von X? Ist
> > > > > P eine offene Teilmenge von Y?
> > > > > Guten Abend zusammen,
> > > > >
> > > > > ich sitze gerade an diesen Aufgaben und komme nicht richtig
> > > > > weiter.
> > > > >
> > > > > Für die 1. Aufgabe habe ich die (i) und die (ii) bereits
> > > > > gelöst, mit dem Ergebnis, dass F linearer Raum ist und
> > > > > [mm]\parallel . \parallel _1[/mm] eine Norm auf F ist.
> > > >
> > > > Wie hast Du das denn gemacht ? Wie gesagt: F besteht nur
> > > > aus stetigen Funktionen-. Was soll dann [mm]||*||_1[/mm] sein ?
> > > >
> > > > Für k=0 macht die Sache Sinn: [mm]||*||_0[/mm] ist dann die
> > > > Maximumsnorm auf F.
> > > >
> > > >
> > > > > jedoch alle
> > > > > anderen Abbildungen nicht, da z.b. mit dem Polynom [mm]1-2x\in F[/mm]
> > > > > die Definitheit verletzt wird.
> > > >
> > > > Was meinst Du damit ????
> > > >
> > >
> > > Ich meinte hier:
> > > für das Polynom gilt [mm]\parallel 1-2x \parallel_k=0[/mm]
> f.a.
> > > [mm]k>1[/mm] aber natürlich [mm]1-2x\neq 0[/mm]
> >
> >
> > Für k=1 hast Du aber auch keine Norm ! Nimm f(x)=1 (x [mm]\in[/mm]
> > [0,1])
>
> Aber [mm]f\equiv 1[/mm] ist doch nicht aus F, oder?
> [mm]\int\limits_0^1f(x)dx=1\neq 0[/mm]
> Oder irre ich mich da?
Nein. Da hab ich mich vertan !
Pardon
FRED
>
> Nochmals danke für die schnelle Antwort :)
> >
> > Dann ist [mm]||f||_1=0.[/mm]
> >
> > FRED
> >
> >
> > > >
> > > > >
> > > > > Jedoch weiß ich nicht, wie ich widerlegen oder zeigen
> > > > > kann, dass F mit dieser Norm ein Banachraum ist.
> > > >
> > > > Für k=0 kann ich es Dir verraten: mit der Maximumsnorm ist
> > > > [mm]C^0[0,1][/mm] ein Bannachraum. Zeige: F ist ein, bezgl. der
> > > > Max.-Norm, abgeschlossener Unterraum von [mm]C^0[0,1].[/mm] Damit
> > > > ist (F, [mm]||*||_0)[/mm] ein Banachraum.
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Bei der 2. Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
> > > > > Ich habe bereits versucht die Menge als
> Schnitte
> > > oder
> > > > > vereinigungen zu schreiben. Komme aber nur auf
> > > > > Darstellungen, mit denen die Offenheit nicht
> > > > > offensichlicher wird, z.B.:[mm] P=\bigcap\limits_{x\in[-1,1]}{ \left\{ f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)>0 \right\} },[/mm]
> > > > > bzw. [mm]P^C=\bigcup\limits_{x\in[-1,1]}{\left\{f\in C^0([-1,1],\mathbb{R}) \; : \; f(x)\leq 0 \right\} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.
> > > >
> > > > Ich bez. mit [mm]||*||_0[/mm] wieder die Maximumsnorm.
> > > >
> > > > [mm]P[/mm] ist offen: sei [mm]f \in P[/mm] . Dann gibt es ein [mm]x_0 \in[/mm] [0,1]
> > > > so, dass [mm]f(x)\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [0,1] ist. Es ist
> > > > [mm]\varepsilon :=f(x_0)>0.[/mm]
> > > >
> > > > Zeige nun: ist g [mm]\in[/mm] X und [mm]||f-g||_0[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm] so ist
> > > > g [mm]\in[/mm] P.
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > > > > Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
> > > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > >
> > > > > Liebe Grüße
> > > > > DudiPupan
> > > >
> >
>
|
|
|
| |
|
> > > Ich bez. mit [mm]||*||_0[/mm] wieder die Maximumsnorm.
> > >
> > > [mm]P[/mm] ist offen: sei [mm]f \in P[/mm] . Dann gibt es ein [mm]x_0 \in[/mm] [0,1]
> > > so, dass [mm]f(x)\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [0,1] ist. Es ist
> > > [mm]\varepsilon :=f(x_0)>0.[/mm]
> > >
> > > Zeige nun: ist g [mm]\in[/mm] X und [mm]||f-g||_0[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm] so ist
> > > g [mm]\in[/mm] P.
> > >
Ich habe nun mal versucht deinem Hinweis zu folgen:
Nehme ich nun mal an, dass [mm] $g(x)\leq [/mm] 0$ f.a. [mm] $x\in[-1,1]$, [/mm] dann ist:
[mm] $$\parallel f-g\parallel_0=\max\limits_{x\in[-1,1]}{|f(x)-g(x)|}\geq\max\limits_{x\in[-1,1]}f(x_0)-g(x)=f(x_0)-\min\limits_{x\in[-1,1]}g(x)<\varepsilon=f(x_0)\Leftrightarrow \min\limits_{x\in[-1,1]}g(x)>0$$ [/mm] WIderspruch dazu wie wir g gewählt haben.
g kann also nicht überall kleiner oder gleich 0 sein.
Ist das der richtige Weg?
Jetzt muss ich das halt noch iwie so machen, dass es kein [mm] $x\in[-1,1]$ [/mm] gibt mit [mm] $g(x)\leq [/mm] 0$. Oder?
> > > FRED
> > >
> > > > Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
> > > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > Liebe Grüße
> > > > DudiPupan
> > >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > Ich bez. mit [mm]||*||_0[/mm] wieder die Maximumsnorm.
> > > >
> > > > [mm]P[/mm] ist offen: sei [mm]f \in P[/mm] . Dann gibt es ein [mm]x_0 \in[/mm] [0,1]
> > > > so, dass [mm]f(x)\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [0,1] ist. Es ist
> > > > [mm]\varepsilon :=f(x_0)>0.[/mm]
> > > >
> > > > Zeige nun: ist g [mm]\in[/mm] X und [mm]||f-g||_0[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm] so ist
> > > > g [mm]\in[/mm] P.
> > > >
> Ich habe nun mal versucht deinem Hinweis zu folgen:
> Nehme ich nun mal an, dass [mm]g(x)\leq 0[/mm] f.a. [mm]x\in[-1,1][/mm],
> dann ist:
> [mm]\parallel f-g\parallel_0=\max\limits_{x\in[-1,1]}{|f(x)-g(x)|}\geq\max\limits_{x\in[-1,1]}f(x_0)-g(x)=f(x_0)-\min\limits_{x\in[-1,1]}g(x)<\varepsilon=f(x_0)\Leftrightarrow \min\limits_{x\in[-1,1]}g(x)>0[/mm]
Wie kommst Du auf des erste " [mm] \ge [/mm] " ?
> WIderspruch dazu wie wir g gewählt haben.
> g kann also nicht überall kleiner oder gleich 0 sein.
>
> Ist das der richtige Weg?
nein.
>
> Jetzt muss ich das halt noch iwie so machen, dass es kein
> [mm]x\in[-1,1][/mm] gibt mit [mm]g(x)\leq 0[/mm]. Oder?
Sei g [mm] \in [/mm] X und [mm] ||f-g||_0 [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Für x [mm] \in [/mm] [0,1] ist dann:
$f(x)-g(x) [mm] \le [/mm] |f(x)-g(x)| [mm] \le ||f-g||_0 [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] $
also
$g(x)>f(x)- [mm] \varepsilon \ge f(x_0)- \varepsilon= \varepsilon- \varepsilon=0$
[/mm]
Fazit: g(x)>0 für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
FRED
>
>
> > > > FRED
> > > >
> > > > > Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
> > > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > >
> > > > > Liebe Grüße
> > > > > DudiPupan
> > > >
> >
>
|
|
|
| |
|
Vielen dank für deine Hilfreiche Antwort Fred!
Ich habe noch eine Frage bzgl der 1. Aufgabe.
Wenn ich die Lipschitzstetige Funktion [mm] $I:C^0([0,1],\mathbb{R})\to \mathbb{R},f\mapsto \int\limits_0^1f(x)\;dx$ [/mm] nehme und Zeige, dass F Urbild einer abgeschlossenen Menge aus [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ist und damit auch abgeschlossen in der Grundmenge?
Aber ich bin mir unsicher wo hier jetzt meine [mm] $\parallel [/mm] . [mm] \parallel_1$ [/mm] -Norm greifen muss. Bei der Stetigkeit von I?
Und noch eine Frage zur 2. Aufgabe bzgl. der Offenheit in Y.
Kann ich hier irgendwie argumentieren, dass X Unterraum von Y ist und damit auch P in Y offen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen dank für deine Hilfreiche Antwort Fred!
>
> Ich habe noch eine Frage bzgl der 1. Aufgabe.
> Wenn ich die Lipschitzstetige Funktion
> [mm]I:C^0([0,1],\mathbb{R})\to \mathbb{R},f\mapsto \int\limits_0^1f(x)\;dx[/mm]
> nehme und Zeige, dass F Urbild einer abgeschlossenen Menge
> aus [mm]\mathbb{R}[/mm] ist und damit auch abgeschlossen in der
> Grundmenge?
> Aber ich bin mir unsicher wo hier jetzt meine [mm]\parallel . \parallel_1[/mm]
> -Norm greifen muss. Bei der Stetigkeit von I?
Obiges wird Dir nix bringen. Es war
$ [mm] F:=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\} [/mm] $ und F ist versehen mit der Norm [mm] ||*||_1
[/mm]
Nun ist die Frage, ob (F; [mm] ||*||_1) [/mm] ein Banachraum ist.
Ich verrate es Dir: (F; [mm] ||*||_1) [/mm] ist ein Banachraum.
Dazu sei [mm] (f_n) [/mm] eine Cauchyfolge in (F; [mm] ||*||_1). [/mm] Wegen
[mm] ||f_n-f_m||_1=||f_n'-f_m'||_0
[/mm]
ist [mm] (f_n') [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] ((C^0[0,1], ||*||_0). [/mm] Der letze Raum ist ein Banachraum, also ex. ein g [mm] \in C^0[0,1] [/mm] mit
[mm] ||f_n'-g||_0 \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Wie musst Du nun h [mm] \in C^1[0,1] [/mm] wählen, dass
1. h [mm] \in [/mm] F
und
2. [mm] ||f_n-h||_1 \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
gelten ?
>
>
>
> Und noch eine Frage zur 2. Aufgabe
Darum kümmern wir uns später !
FRED
> bzgl. der Offenheit in
> Y.
> Kann ich hier irgendwie argumentieren, dass X Unterraum
> von Y ist und damit auch P in Y offen?
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
>
|
|
|
| |
|
> > Vielen dank für deine Hilfreiche Antwort Fred!
> >
> > Ich habe noch eine Frage bzgl der 1. Aufgabe.
> > Wenn ich die Lipschitzstetige Funktion
> > [mm]I:C^0([0,1],\mathbb{R})\to \mathbb{R},f\mapsto \int\limits_0^1f(x)\;dx[/mm]
> > nehme und Zeige, dass F Urbild einer abgeschlossenen Menge
> > aus [mm]\mathbb{R}[/mm] ist und damit auch abgeschlossen in der
> > Grundmenge?
> > Aber ich bin mir unsicher wo hier jetzt meine [mm]\parallel . \parallel_1[/mm]
> > -Norm greifen muss. Bei der Stetigkeit von I?
>
> Obiges wird Dir nix bringen. Es war
>
>
>
> [mm]F:=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> und F ist versehen mit der Norm [mm]||*||_1[/mm]
>
> Nun ist die Frage, ob (F; [mm]||*||_1)[/mm] ein Banachraum ist.
>
> Ich verrate es Dir: (F; [mm]||*||_1)[/mm] ist ein Banachraum.
>
> Dazu sei [mm](f_n)[/mm] eine Cauchyfolge in (F; [mm]||*||_1).[/mm] Wegen
>
> [mm]||f_n-f_m||_1=||f_n'-f_m'||_0[/mm]
>
> ist [mm](f_n')[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]((C^0[0,1], ||*||_0).[/mm] Der
> letze Raum ist ein Banachraum, also ex. ein g [mm]\in C^0[0,1][/mm]
> mit
>
> [mm]||f_n'-g||_0 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Wie musst Du nun h [mm]\in C^1[0,1][/mm] wählen, dass
>
> 1. h [mm]\in[/mm] F
>
> und
>
> 2. [mm]||f_n-h||_1 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> gelten ?
Vielleicht irgedwie von der Gestalt: $h=g(x)-G(1)+G(0)$,
wobei G eben die Stammfunktion von g ist?
Weil dann wäre ja auf jeden Fall mal [mm] $\int\limit_0^1h(x)\;dx=\int\limits_0^1g(x)-G(1)+G(0)\;dx=\left[G(x)-G(1)*x+G(0)*x\right]_0^1=G(1)-G(1)+G(0)-G(0)=0$?
[/mm]
Und das g wählen wir dann iwie so, dass $g'$ eben dies Funktion aus [mm] $C^0[-1,1]$ [/mm] ist, für die [mm] $\parallel f_n'-g \parallel_0\to [/mm] 0$ gilt, welche ja ie oben gesagt existiert.
> >
> >
> >
> > Und noch eine Frage zur 2. Aufgabe
>
>
> Darum kümmern wir uns später !
>
> FRED
>
>
>
> > bzgl. der Offenheit in
> > Y.
> > Kann ich hier irgendwie argumentieren, dass X Unterraum
> > von Y ist und damit auch P in Y offen?
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Vielen dank für deine Hilfreiche Antwort Fred!
> > >
> > > Ich habe noch eine Frage bzgl der 1. Aufgabe.
> > > Wenn ich die Lipschitzstetige Funktion
> > > [mm]I:C^0([0,1],\mathbb{R})\to \mathbb{R},f\mapsto \int\limits_0^1f(x)\;dx[/mm]
> > > nehme und Zeige, dass F Urbild einer abgeschlossenen Menge
> > > aus [mm]\mathbb{R}[/mm] ist und damit auch abgeschlossen in der
> > > Grundmenge?
> > > Aber ich bin mir unsicher wo hier jetzt meine
> [mm]\parallel . \parallel_1[/mm]
> > > -Norm greifen muss. Bei der Stetigkeit von I?
> >
> > Obiges wird Dir nix bringen. Es war
> >
> >
> >
> > [mm]F:=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> > und F ist versehen mit der Norm [mm]||*||_1[/mm]
> >
> > Nun ist die Frage, ob (F; [mm]||*||_1)[/mm] ein Banachraum ist.
> >
> > Ich verrate es Dir: (F; [mm]||*||_1)[/mm] ist ein Banachraum.
> >
> > Dazu sei [mm](f_n)[/mm] eine Cauchyfolge in (F; [mm]||*||_1).[/mm] Wegen
> >
> > [mm]||f_n-f_m||_1=||f_n'-f_m'||_0[/mm]
> >
> > ist [mm](f_n')[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]((C^0[0,1], ||*||_0).[/mm] Der
> > letze Raum ist ein Banachraum, also ex. ein g [mm]\in C^0[0,1][/mm]
> > mit
> >
> > [mm]||f_n'-g||_0 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> >
> > Wie musst Du nun h [mm]\in C^1[0,1][/mm] wählen, dass
> >
> > 1. h [mm]\in[/mm] F
> >
> > und
> >
> > 2. [mm]||f_n-h||_1 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
> >
> > gelten ?
> Vielleicht irgedwie von der Gestalt: [mm]h=g(x)-G(1)+G(0)[/mm],
Das ist doch Unfug ! h soll doch in [mm] C^1[0,1] [/mm] liegen !
Wähle h so:
h ist eine Stammfunktion von g und [mm] \int\limit_0^1h(x)\;dx=0
[/mm]
FRED
> wobei G eben die Stammfunktion von g ist?
> Weil dann wäre ja auf jeden Fall mal
> [mm]\int\limit_0^1h(x)\;dx=\int\limits_0^1g(x)-G(1)+G(0)\;dx=\left[G(x)-G(1)*x+G(0)*x\right]_0^1=G(1)-G(1)+G(0)-G(0)=0[/mm]?
>
> Und das g wählen wir dann iwie so, dass [mm]g'[/mm] eben dies
> Funktion aus [mm]C^0[-1,1][/mm] ist, für die [mm]\parallel f_n'-g \parallel_0\to 0[/mm]
> gilt, welche ja ie oben gesagt existiert.
> > >
> > >
> > >
> > > Und noch eine Frage zur 2. Aufgabe
> >
> >
> > Darum kümmern wir uns später !
> >
> > FRED
> >
> >
> >
> > > bzgl. der Offenheit in
> > > Y.
> > > Kann ich hier irgendwie argumentieren, dass X
> Unterraum
> > > von Y ist und damit auch P in Y offen?
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebe Grüße
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
> > > > Vielen dank für deine Hilfreiche Antwort Fred!
> > > >
> > > > Ich habe noch eine Frage bzgl der 1. Aufgabe.
> > > > Wenn ich die Lipschitzstetige Funktion
> > > > [mm]I:C^0([0,1],\mathbb{R})\to \mathbb{R},f\mapsto \int\limits_0^1f(x)\;dx[/mm]
> > > > nehme und Zeige, dass F Urbild einer abgeschlossenen Menge
> > > > aus [mm]\mathbb{R}[/mm] ist und damit auch abgeschlossen in der
> > > > Grundmenge?
> > > > Aber ich bin mir unsicher wo hier jetzt meine
> > [mm]\parallel . \parallel_1[/mm]
> > > > -Norm greifen muss. Bei der Stetigkeit von I?
> > >
> > > Obiges wird Dir nix bringen. Es war
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]F:=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> > > und F ist versehen mit der Norm [mm]||*||_1[/mm]
> > >
> > > Nun ist die Frage, ob (F; [mm]||*||_1)[/mm] ein Banachraum ist.
> > >
> > > Ich verrate es Dir: (F; [mm]||*||_1)[/mm] ist ein Banachraum.
> > >
> > > Dazu sei [mm](f_n)[/mm] eine Cauchyfolge in (F; [mm]||*||_1).[/mm] Wegen
> > >
> > > [mm]||f_n-f_m||_1=||f_n'-f_m'||_0[/mm]
> > >
> > > ist [mm](f_n')[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]((C^0[0,1], ||*||_0).[/mm] Der
> > > letze Raum ist ein Banachraum, also ex. ein g [mm]\in C^0[0,1][/mm]
> > > mit
> > >
> > > [mm]||f_n'-g||_0 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> > >
> > > Wie musst Du nun h [mm]\in C^1[0,1][/mm] wählen, dass
> > >
> > > 1. h [mm]\in[/mm] F
> > >
> > > und
> > >
> > > 2. [mm]||f_n-h||_1 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
> > >
> > > gelten ?
> > Vielleicht irgedwie von der Gestalt: [mm]h=g(x)-G(1)+G(0)[/mm],
>
> Das ist doch Unfug ! h soll doch in [mm]C^1[0,1][/mm] liegen !
>
> Wähle h so:
>
> h ist eine Stammfunktion von g und
> [mm]\int\limit_0^1h(x)\;dx=0[/mm]
>
> FRED
>
Ja, so hatte ich das mehr oder weniger gemeint.
Also nun h Stammfkt. von g. Wenn ich diese nun so Verschiebe, dass Integral von 0 bis 1 0 ist, dann ist sie ja in F.
Das h das ich gewählt habe war ja Stammfkt. von [mm] $g'\in C^0[0,1]$, [/mm] also wäre dann doch $h(x)=g(x)-G(1)+G(0)$ eben eine Stammfunktion des g' (das wir als das g' mit [mm] $\parallel f_n'-g' \parallel_0\to [/mm] 0$ gewählt haben) und damit in [mm] $C^1[0,1]$ [/mm] und außerdem in F.
Habe unten wieder paar schreibfehler reingemacht, oder ist das trotzdem nicht korrekt?
Ich weiß nicht ganz, wo mein Denkfehler liegt?
Vielen Dank :)
>
> > wobei G eben die Stammfunktion von g ist?
> > Weil dann wäre ja auf jeden Fall mal
> >
> [mm]\int\limit_0^1h(x)\;dx=\int\limits_0^1g(x)-G(1)+G(0)\;dx=\left[G(x)-G(1)*x+G(0)*x\right]_0^1=G(1)-G(1)+G(0)-G(0)=0[/mm]?
> >
> > Und das g wählen wir dann iwie so, dass [mm]g'[/mm] eben dies
> > Funktion aus [mm]C^0[-1,1][/mm] ist, für die [mm]\parallel f_n'-g \parallel_0\to 0[/mm]
> > gilt, welche ja ie oben gesagt existiert.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Und noch eine Frage zur 2. Aufgabe
> > >
> > >
> > > Darum kümmern wir uns später !
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > >
> > > > bzgl. der Offenheit in
> > > > Y.
> > > > Kann ich hier irgendwie argumentieren, dass X
> > Unterraum
> > > > von Y ist und damit auch P in Y offen?
> > > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > Liebe Grüße
> > > >
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Vielen dank für deine Hilfreiche Antwort Fred!
> > > > >
> > > > > Ich habe noch eine Frage bzgl der 1. Aufgabe.
> > > > > Wenn ich die Lipschitzstetige Funktion
> > > > > [mm]I:C^0([0,1],\mathbb{R})\to \mathbb{R},f\mapsto \int\limits_0^1f(x)\;dx[/mm]
> > > > > nehme und Zeige, dass F Urbild einer abgeschlossenen Menge
> > > > > aus [mm]\mathbb{R}[/mm] ist und damit auch abgeschlossen in der
> > > > > Grundmenge?
> > > > > Aber ich bin mir unsicher wo hier jetzt meine
> > > [mm]\parallel . \parallel_1[/mm]
> > > > > -Norm greifen muss. Bei der Stetigkeit von I?
> > > >
> > > > Obiges wird Dir nix bringen. Es war
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > [mm]F:=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):\int\limits_0^1f(x)\;dx=0\right\}[/mm]
> > > > und F ist versehen mit der Norm [mm]||*||_1[/mm]
> > > >
> > > > Nun ist die Frage, ob (F; [mm]||*||_1)[/mm] ein Banachraum ist.
> > > >
> > > > Ich verrate es Dir: (F; [mm]||*||_1)[/mm] ist ein Banachraum.
> > > >
> > > > Dazu sei [mm](f_n)[/mm] eine Cauchyfolge in (F; [mm]||*||_1).[/mm] Wegen
> > > >
> > > > [mm]||f_n-f_m||_1=||f_n'-f_m'||_0[/mm]
> > > >
> > > > ist [mm](f_n')[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]((C^0[0,1], ||*||_0).[/mm] Der
> > > > letze Raum ist ein Banachraum, also ex. ein g [mm]\in C^0[0,1][/mm]
> > > > mit
> > > >
> > > > [mm]||f_n'-g||_0 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> > > >
> > > > Wie musst Du nun h [mm]\in C^1[0,1][/mm] wählen, dass
> > > >
> > > > 1. h [mm]\in[/mm] F
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > 2. [mm]||f_n-h||_1 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
> > > >
> > > > gelten ?
> > > Vielleicht irgedwie von der Gestalt:
> [mm]h=g(x)-G(1)+G(0)[/mm],
> >
> > Das ist doch Unfug ! h soll doch in [mm]C^1[0,1][/mm] liegen !
> >
> > Wähle h so:
> >
> > h ist eine Stammfunktion von g und
> > [mm]\int\limit_0^1h(x)\;dx=0[/mm]
> >
> > FRED
> >
> Ja, so hatte ich das mehr oder weniger gemeint.
.... eher weniger ...
>
> Also nun h Stammfkt. von g. Wenn ich diese nun so
> Verschiebe, dass Integral von 0 bis 1 0 ist, dann ist sie
> ja in F.
Ja
>
> Das h das ich gewählt habe war ja Stammfkt. von [mm]g'\in C^0[0,1][/mm],
Nein !!! h ist eine Stammfunktion von g ! Also h'=g.
> also wäre dann doch [mm]h(x)=g(x)-G(1)+G(0)[/mm] eben eine
> Stammfunktion des g' (das wir als das g' mit [mm]\parallel f_n'-g' \parallel_0\to 0[/mm]
> gewählt haben) und damit in [mm]C^1[0,1][/mm] und außerdem in F.
Unfug !!! Das hab ich Dir doch schon in meiner letzte Antwort gesagt.
h muss doch stetig differenzierbar sein !!!
>
> Habe unten wieder paar schreibfehler reingemacht, oder ist
> das trotzdem nicht korrekt?
>
> Ich weiß nicht ganz, wo mein Denkfehler liegt?
Sei also h eine Stammfunktion von g mit [mm] \integral_{0}^{1}{h(x) dx}=0
[/mm]
Dann ist h [mm] \in [/mm] F und
[mm] ||f_n-h||_1=||f_n'-h'||_0=||f_n'-g||_0 \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
D.h.: die Cauchyfolge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert in (F, [mm] ||*||_1) [/mm] gegen h [mm] \in [/mm] F.
F ist also vollständig.
>
> Vielen Dank :)
> >
> > > wobei G eben die Stammfunktion von g ist?
> > > Weil dann wäre ja auf jeden Fall mal
> > >
> >
> [mm]\int\limit_0^1h(x)\;dx=\int\limits_0^1g(x)-G(1)+G(0)\;dx=\left[G(x)-G(1)*x+G(0)*x\right]_0^1=G(1)-G(1)+G(0)-G(0)=0[/mm]?
> > >
> > > Und das g wählen wir dann iwie so, dass [mm]g'[/mm] eben dies
> > > Funktion aus [mm]C^0[-1,1][/mm] ist, für die [mm]\parallel f_n'-g \parallel_0\to 0[/mm]
> > > gilt, welche ja ie oben gesagt existiert.
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Und noch eine Frage zur 2. Aufgabe
> > > >
> > > >
> > > > Darum kümmern wir uns später !
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > bzgl. der Offenheit in
> > > > > Y.
> > > > > Kann ich hier irgendwie argumentieren, dass X
> > > Unterraum
> > > > > von Y ist und damit auch P in Y offen?
> > > > >
> > > > > Vielen Dank
Zur Frage, ob P offen in Y ist:
Definiere f(x):=1 für x [mm] \in [/mm] [-1,1]. Dann ist f [mm] \in [/mm] P.
Setze [mm] g_n(x):=1+\bruch{i}{n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in [/mm] [-1,1].
Berechne Du mal: [mm] ||f-g_n||_0 [/mm] ( [mm] ||*||_0 [/mm] ist die Supremumsnorm).
Dann solltest Du sehen, dass P nicht offen in Y ist.
FRED
> > > > >
> > > > > Liebe Grüße
> > > > >
> > > >
> > >
> >
>
|
|
|
|
