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| Aufgabe | | (4-Punkte-Aufgabe): Sei (X,d) metrischer Raum mit X:=(0,∞) und p:X×X→ℝ definiert durch d(x,y):=|x−y|+|1:x−1:y|,x,y∈ℝ. Beweisen Sie: (X,d) ist vollständig. |
Mein Ansatz:
zu zeigen: Jede Cauchy-Folge {an}n∈ℕ konvergiert, also an→α∈X.
Beweisversuch: Sei {an}n∈ℕ Cauchy-Folge in X⇒∀ε>0∃n0∈ℕ∀m,n>n0:d(am,an)=|am−an|+|1am−1an|<ε. In der Vorlesung wurde auch gezeigt: {an} Cauchy-Folge ⇒{an} beschränkt und besitzt höchstens einen Häufungspunkt ⇒∃ höchstens eine konvergente Teilfolge {an′′}.
Ich komme einfach nicht weiter und habe keine weiteren Ansätze mehr. Ich freue mich über Eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> (4-Punkte-Aufgabe): Sei (X,d) metrischer Raum mit
> X:=(0,∞) und p:X×X→ℝ
Es soll wohl p=d sein.
> definiert durch
> d(x,y):=|x−y|+|1:x−1:y|,x,y∈ℝ. Beweisen Sie: (X,d)
> ist vollständig.
> Mein Ansatz:
> zu zeigen: Jede Cauchy-Folge {an}n∈ℕ konvergiert, also
> an→α∈X.
>
> Beweisversuch: Sei {an}n∈ℕ Cauchy-Folge in
> X⇒∀ε>0∃n0∈ℕ∀m,n>n0:d(am,an)=|am−an|+|1am−1an|<ε.
> In der Vorlesung wurde auch gezeigt: {an} Cauchy-Folge
> ⇒{an} beschränkt und besitzt höchstens einen
> Häufungspunkt ⇒∃ höchstens eine konvergente Teilfolge
> {an′′}.
>
> Ich komme einfach nicht weiter und habe keine weiteren
> Ansätze mehr. Ich freue mich über Eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich führe noch folgende Bezeichnung ein: [mm] d_0(x,y):=|x-y| [/mm] (x,y [mm] \in \IR)
[/mm]
Dann ist
(*) [mm] d(x,y)=d_0(x,y)+d_0(\bruch{1}{x},\bruch{1}{y}) [/mm] (x,y >0).
Es ist also
(**) [mm] d_0(x,y) \le [/mm] d(x,y) und [mm] d_0(1/x, [/mm] 1/y) [mm] \le [/mm] d(x,y)
Ist nun [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge in (X,d), so ist wegen (**), [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] (\IR,d_0). [/mm]
[mm] (\IR,d_0) [/mm] ist vollständig, also ex. ein a [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] d_0(a_n,a)=|a_n-a| \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Klar dürfte sein, dass a [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Zeige nun Du noch:
1. a>0, also a [mm] \in [/mm] X.
2. [mm] d(a_n,a) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
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Danke für die schnelle Antwort, nur einiges ist mir nicht sofort klar.
1. Wieso gilt wegen (**), dass {an} dann eine CF in (R,do) ist?
2. Weil (R,d0) vollständig -> CF konvergiert ist klar. Wieso muss an gegen 0 konvergieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort, nur einiges ist mir nicht
> sofort klar.
>
> 1. Wieso gilt wegen (**), dass {an} dann eine CF in (R,do)
> ist?
[mm] d_0(a_n,a_m) \le d(a_n,a_m)
[/mm]
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> 2. Weil (R,d0) vollständig -> CF konvergiert ist klar.
> Wieso muss an gegen 0 konvergieren?
Das hat doch niemand gesagt ! ?
FRED
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> [mm]d_0(a_n,a_m) \le d(a_n,a_m)[/mm]
Ja, wieso gilt das deswegen? Laut welchem Satz?
> Das hat doch niemand gesagt ! ?
Doch, die hast geschrieben: |an-a|->0. Also d0(an,a) konvergiert gegen 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]d_0(a_n,a_m) \le d(a_n,a_m)[/mm]
> Ja, wieso gilt das deswegen?
> Laut welchem Satz?
Meine Güte. Da braucht man doch keinen Satz ! sind u und v Zahlen [mm] \ge [/mm] 0, so ist doch
u [mm] \le [/mm] u+v.
>
> > Das hat doch niemand gesagt ! ?
> Doch, die hast geschrieben: |an-a|->0. Also d0(an,a)
> konvergiert gegen 0.
Ja, das hab ich geschrieben. Das bedeutet aber, dass [mm] a_n \to [/mm] a konvergiert.
FRED
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> u [mm]\le[/mm] u+v.
Richtig! Das war auch nicht meine Frage. Meine Frage war: wieso kann man deswegen schließen, dass {an} Cauchy-Folge in (R,do) ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
[mm] (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge in [mm] (\IR,d_0) [/mm] , wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] gibt mit:
[mm] d_0(a_n,a_m) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n,n [mm] \ge n_0.
[/mm]
So, nun ist [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge in (X,d) und es gilt $ [mm] d_0(a_n,a_m) \le d(a_n,a_m) [/mm] $.
Machts nun "klick" ?
FRED
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Okay, danke. Jetzt habe ich es verstanden. Jetzt muss man also nur noch zeigen, dass dieses a>0 ist und somit in X liegt?
Da [mm] a_n \rightarrow [/mm] a: jede Kugel [mm] B_{\varepsilon}(a) [/mm] enthält fast alle Folgeglieder. Angenommen a = 0. Dann enthält jede [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um 0 fast alle Folgeglieder der Folge [mm] {a_n}, [/mm] also auch für [mm] \varepsilon=1 \Rightarrow [/mm] Widerspruch [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] X.
Ist das so okay?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke. Jetzt habe ich es verstanden. Jetzt muss man
> also nur noch zeigen, dass dieses a>0 ist und somit in X
> liegt?
>
> Da [mm]a_n \rightarrow[/mm] a: jede Kugel [mm]B_{\varepsilon}(a)[/mm]
> enthält fast alle Folgeglieder. Angenommen a = 0. Dann
> enthält jede [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] um 0 fast alle Folgeglieder
> der Folge [mm]{a_n},[/mm] also auch für [mm]\varepsilon=1 \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] X.
>
> Ist das so okay?
Nein. Obiges ist völlig wirr !
Was macht denn die Folge [mm] (1/a_n) [/mm] ???
FRED
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Diese Folge konvergiert gegen 0. Okay, dann wüsste ich nicht, wie man argumentieren soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Diese Folge konvergiert gegen 0.
Das ist doch Unsinn !
FRED
>Okay, dann wüsste ich
> nicht, wie man argumentieren soll.
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Sinnlos. Bitte immer so knapp wie möglich antworten ...
Naja, dann nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sinnlos. Bitte immer so knapp wie möglich antworten ...
>
> Naja, dann nicht.
Du stocherst im Nebel und veranstaltest ein heiteres Grenzwertraten a la Robert Lembke (welches Schweinderl hättens gern ?)
Nun pass mal auf:
Wir haben schon: es gibt ein a [mm] \ge [/mm] 0 mit [mm] d_0(a_n,a) \to [/mm] 0.
Genauso wie das, sieht man: es gibt ein b [mm] \ge [/mm] 0 mit:
[mm] d_0(1/a_n,b) \to [/mm] 0.
[mm] d_0 [/mm] ist der Betrag ! Für a gibts 2 Möglichkeiten: a>0 oder a=0.
a=0 kommt nicht in Frage, denn dann: [mm] 1/a_n \to \infty. [/mm] Es gilt aber: [mm] 1/a_n \to [/mm] b [mm] (\to [/mm] ist im Sinne der Metrik [mm] d_0 [/mm] gemeint).
Fazit: a>0 und b=1/a.
Dann haben wir:
[mm] d(a_n,a)=d_0(a_n,a)+d_0(1/a_n,1/a) \to [/mm] 0.
Fertig ! Nun zufrieden ?
FRED
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