Vollständigkeit von l^1 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mi 06.03.2013 | | Autor: | Aegon |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Für $x=(s_n)) \in l^1$ setze
$||x|| = \sup_n{|\sum_{j=1}^{n}{s_j}|$.
Zeige, dass $(l^1,||\cdot||)$ ein normierter Raum ist und überprüfe, ob es ein Banachraum ist. |
Ich habe bereits gezeigt, dass $(l^1,||\cdot||)$ ein normierter Raum ist.
Nun möchte ich die Vollständigkeit prüfen:
Ich habe versucht zu beweisen, dass dieser Raum vollständig ist. Ich bin aber nicht weitergekommen und habe dann gelesen, dass $l^1$ mit dieser Norm nicht vollständig ist. Leider war keine nähere Ausführung dabei...
Um Vollständigkeit zu beweisen, muss ich zeigen, dass jede Cauchy-Folge in dem Raum konvergiert.
$l^1= \{(s_n): s_n \in \IR, \sum_{n=1}^\infty {|s_n| < \infty\}$
Für Cauchy-Folge $(x_n)$ in diesem Raum gilt:
$\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \IN ,\forall k,m \geq n_0 : ||x_k - x_m|| = \sup_n{|\sum_{j=1}^n{s_j^k} - \sum_{l=1}^n{s_l^m}| < \epsilon$
Ist das so richtig angeschrieben?
Ich schätze, ich muss hier ein Gegenbeispiel finden. Gibt es dafür eine konkrete Vorgangsweise, wie ich so ein Gegenbeispiel konstruieren kann?
Außerdem würde mich noch interessieren, wie man überhaupt am Anfang entscheidet, ob man Vollständigkeit oder Nicht-Vollständigkeit zeigen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Für [mm]x=(s_n)) \in l^1[/mm] setze
> [mm]||x|| = \sup_n{|\sum_{j=1}^{n}{s_j}|[/mm].
> Zeige, dass
> [mm](l^1,||\cdot||)[/mm] ein normierter Raum ist und überprüfe, ob
> es ein Banachraum ist.
> Nun möchte ich die Vollständigkeit prüfen:
> Ich habe versucht zu beweisen, dass dieser Raum
> vollständig ist. Ich bin aber nicht weitergekommen und
> habe dann gelesen, dass [mm]l^1[/mm] mit dieser Norm nicht
> vollständig ist.
--> Wo hast du das gelesen? Vielleicht kann man da trotzdem noch ein paar Ideen rausziehen.
> Um Vollständigkeit zu beweisen, muss ich zeigen, dass jede
> Cauchy-Folge in dem Raum konvergiert.
Ja.
> [mm]l^1= \{(s_n): s_n \in \IR, \sum_{n=1}^\infty {|s_n| < \infty\}[/mm]
>
> Für Cauchy-Folge [mm](x_n)[/mm] in diesem Raum gilt:
> [mm]\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \IN ,\forall k,m \geq n_0 : ||x_k - x_m|| = \sup_n{|\sum_{j=1}^n{s_j^k} - \sum_{l=1}^n{s_l^m}| < \epsilon[/mm]
>
> Ist das so richtig angeschrieben?
Ja (auch wenn diese Doppelnotation mit den s etwas verwirrend ist).
Du kannst noch schreiben:
[mm] $\sup_n \left| \sum_{i=1}^{n}(s^{k}_i - s^{m}_i)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
> Ich schätze, ich muss hier ein Gegenbeispiel finden. Gibt
> es dafür eine konkrete Vorgangsweise, wie ich so ein
> Gegenbeispiel konstruieren kann?
> Außerdem würde mich noch interessieren, wie man
> überhaupt am Anfang entscheidet, ob man Vollständigkeit
> oder Nicht-Vollständigkeit zeigen soll.
Die beiden Fragen fallen etwas zusammen.
Als erstes solltest du zumindest einen Vollständigkeitsbeweis kennen (z.B. das [mm] $l^{1}$ [/mm] mit der Norm $||x|| = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} |s_i|$ [/mm] vollständig ist). Dann weißt du, wie die ungefähre Vorgehensweise ist:
Als erstes versucht man zu zeigen dass die einzelnen Komponenten der Folgen (also [mm] $(s^{n}_k)_{n\in \IN}$ [/mm] für festes k) Cauchy-Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] sind, dort hat man schon Vollständigkeit, also haben die Grenzwerte. Auf diese Weise erhält man eine Grenzfolge $x = [mm] (s_k)_{k\in\IN}$. [/mm] Im nächsten Schritt versucht man dann Konvergenz von [mm] $(x^{n})$ [/mm] gegen dieses $x$ zu zeigen.
--> Du würdest nun also erstmal versuchen, diese Vorgehensweise bei dir auch durchzuführen. Du siehst aber, dass man aus der Aussage
[mm] $\sup_n \left| \sum_{i=1}^{n}(s^{k}_i - s^{m}_i)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
NICHT SOFORT schließen kann, dass (für festes i) [mm] $|s^{k}_i [/mm] - [mm] s^{m}_i| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist. Sobald du das siehst, solltest du bereits misstrauisch werden, was die Vollständigkeit angeht, weil es anscheinend nicht mal ohne weiteres möglich ist, eine Grenzfolge zu konstruieren.
Aber das obige Problem kann noch umgangen werden. Wenn man weiß, dass [mm] $\sup_n [/mm] ... < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist, gilt das auch für n = 1. Daraus erhält man [mm] $|s^{k}_1 [/mm] - [mm] s^{m}_1| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wählt man statt [mm] $\varepsilon$ [/mm] nun [mm] $\varepsilon/2$, [/mm] kann man evtl. sogar [mm] $|s^{k}_2 [/mm] - [mm] s^{m}_2| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] folgern (indem man das [mm] $|s^{k}_1 [/mm] - [mm] s^{m}_1|$ [/mm] auf die andere Seite schiebt).
So kann man erhalten, dass die Komponentenfolgen [mm] $(s^{n}_i)_{n\in\IN}$ [/mm] für festes i Cauchy-Folgen sind und erhält einen Grenzwert $x = [mm] (s_i)_{i\in\IN}$.
[/mm]
Als nächstes würde ich nun versuchen, den Vollständigkeitsbeweis weiterzuführen. Es ist fraglich, ob der Grenzwert $x [mm] \in l^{1}$ [/mm] liegt, und ob die Folge [mm] $(x^{n})$ [/mm] bzgl. der gegebenen Norm dagegen konvergiert.
An den Stellen, wo es beim Vollständigkeitsbeweis Probleme gibt, kann man sich dann Ideen für ein Gegenbeispiel holen.
Ich denke aber, dass das sogar ein Banachraum sein könnte. Mir fällt kein offensichtliches Gegenbeispiel ein.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 07.03.2013 | | Autor: | Aegon |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
>
> Die beiden Fragen fallen etwas zusammen.
> Als erstes solltest du zumindest einen
> Vollständigkeitsbeweis kennen (z.B. das [mm]l^{1}[/mm] mit der Norm
> [mm]||x|| = \sum_{i=1}^{\infty} |s_i|[/mm] vollständig ist). Dann
> weißt du, wie die ungefähre Vorgehensweise ist:
Ja, den Beweis kenne ich.
> Als erstes versucht man zu zeigen dass die einzelnen
> Komponenten der Folgen (also [mm](s^{n}_k)_{n\in \IN}[/mm] für
> festes k) Cauchy-Folgen in [mm]\IR[/mm] sind, dort hat man schon
> Vollständigkeit, also haben die Grenzwerte. Auf diese
> Weise erhält man eine Grenzfolge [mm]x = (s_k)_{k\in\IN}[/mm]. Im
> nächsten Schritt versucht man dann Konvergenz von [mm](x^{n})[/mm]
> gegen dieses [mm]x[/mm] zu zeigen.
>
> --> Du würdest nun also erstmal versuchen, diese
> Vorgehensweise bei dir auch durchzuführen. Du siehst aber,
> dass man aus der Aussage
>
> [mm]\sup_n \left| \sum_{i=1}^{n}(s^{k}_i - s^{m}_i)\right| < \varepsilon[/mm].
>
> NICHT SOFORT schließen kann, dass (für festes i)
> [mm]|s^{k}_i - s^{m}_i| < \varepsilon[/mm] ist. Sobald du das
> siehst, solltest du bereits misstrauisch werden, was die
> Vollständigkeit angeht, weil es anscheinend nicht mal ohne
> weiteres möglich ist, eine Grenzfolge zu konstruieren.
>
> Aber das obige Problem kann noch umgangen werden. Wenn man
> weiß, dass [mm]\sup_n ... < \varepsilon[/mm] ist, gilt das auch
> für n = 1. Daraus erhält man [mm]|s^{k}_1 - s^{m}_1| < \varepsilon[/mm].
Bis hier ist mir das noch klar.
> Wählt man statt [mm]\varepsilon[/mm] nun [mm]\varepsilon/2[/mm], kann man
> evtl. sogar [mm]|s^{k}_2 - s^{m}_2| < \varepsilon[/mm] folgern
> (indem man das [mm]|s^{k}_1 - s^{m}_1|[/mm] auf die andere Seite
> schiebt).
Kannst du mir diesen Schritt etwas ausführlicher erklären, speziell das auf die andere Seite schieben?
> So kann man erhalten, dass die Komponentenfolgen
> [mm](s^{n}_i)_{n\in\IN}[/mm] für festes i Cauchy-Folgen sind und
> erhält einen Grenzwert [mm]x = (s_i)_{i\in\IN}[/mm].
>
>
> Als nächstes würde ich nun versuchen, den
> Vollständigkeitsbeweis weiterzuführen. Es ist fraglich,
> ob der Grenzwert [mm]x \in l^{1}[/mm] liegt, und ob die Folge
> [mm](x^{n})[/mm] bzgl. der gegebenen Norm dagegen konvergiert.
D.h. ich müsste zeigen, dass [mm]x = (s_i)_{i\in\IN} \in l^1[/mm], also [mm]\sum_{m=1}^{\infty}{|s_m| < \infty[/mm].
Wenn jetzt [mm](s_m)[/mm] keine Nullfolge wäre, wäre die Bedingung verletzt. Komme ich damit weiter?
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Hallo,
du hast noch nicht gesagt, wo du die Behauptung her hast, dass der Raum nicht vollständig ist. Ich bin mir auch nicht sicher, ob er vollständig ist oder nicht, deswegen wäre das gut zu wissen.
> > --> Du würdest nun also erstmal versuchen, diese
> > Vorgehensweise bei dir auch durchzuführen. Du siehst aber,
> > dass man aus der Aussage
> >
> > [mm]\sup_n \left| \sum_{i=1}^{n}(s^{k}_i - s^{m}_i)\right| < \varepsilon[/mm].
>
> >
> > NICHT SOFORT schließen kann, dass (für festes i)
> > [mm]|s^{k}_i - s^{m}_i| < \varepsilon[/mm] ist.
> > Aber das obige Problem kann noch umgangen werden. Wenn man
> > weiß, dass [mm]\sup_n ... < \varepsilon[/mm] ist, gilt das auch
> > für n = 1. Daraus erhält man [mm]|s^{k}_1 - s^{m}_1| < \varepsilon[/mm].
> Bis hier ist mir das noch klar.
>
> > Wählt man statt [mm]\varepsilon[/mm] nun [mm]\varepsilon/2[/mm], kann man
> > evtl. sogar [mm]|s^{k}_2 - s^{m}_2| < \varepsilon[/mm] folgern
> > (indem man das [mm]|s^{k}_1 - s^{m}_1|[/mm] auf die andere Seite
> > schiebt).
> Kannst du mir diesen Schritt etwas ausführlicher
> erklären, speziell das auf die andere Seite schieben?
Wähle [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] sodass für alle $k,m [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $\sup_{n}\left|\sum_{i=1}^{n}(s_i^{k} - s_i^{m})\right| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}.$
[/mm]
Für n = 1,2 folgt
[mm] $|(s_1^{k} [/mm] - [mm] s_1{m})| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
[mm] $|(s_1^{k} [/mm] - [mm] s_1{m}) [/mm] + [mm] (s_2^{k} [/mm] - [mm] s_2^{m})| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Nun ![[]](/images/popup.gif) Umgek. Dreiecksungleichung:
[mm] $|s_2^{k} [/mm] - [mm] s_2^{m}| [/mm] - [mm] |s_1^{k} [/mm] - [mm] s_1^{m}| \le |(s_1^{k} [/mm] - [mm] s_1{m}) [/mm] + [mm] (s_2^{k} [/mm] - [mm] s_2^{m})| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Damit
[mm] $|s_2^{k} [/mm] - [mm] s_2^{m}| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] |s_1^{k} [/mm] - [mm] s_1^{m}| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Damit ist gezeigt, dass [mm] $(s_2^{n})_{n\in\IN}$ [/mm] Cauchy-Folge ist. Ich denke, wenn man jetzt das [mm] $\varepsilon$ [/mm] sukzessive verkleinert, kann man das für alle Indizes so ähnlich durchführen.
> > So kann man erhalten, dass die Komponentenfolgen
> > [mm](s^{n}_i)_{n\in\IN}[/mm] für festes i Cauchy-Folgen sind und
> > erhält einen Grenzwert [mm]x = (s_i)_{i\in\IN}[/mm].
Wenn man also nach einem Gegenbeispiel sucht, weiß man jetzt schonmal, dass zumindest immer ein sinnvoller Grenzwert konstruiert werden könnte. Er könnte eben bloß nicht in [mm] $l^{1}$ [/mm] liegen oder nicht bzgl. der Norm GW sein.
> > Als nächstes würde ich nun versuchen, den
> > Vollständigkeitsbeweis weiterzuführen. Es ist fraglich,
> > ob der Grenzwert [mm]x \in l^{1}[/mm] liegt, und ob die Folge
> > [mm](x^{n})[/mm] bzgl. der gegebenen Norm dagegen konvergiert.
> D.h. ich müsste zeigen, dass [mm]x = (s_i)_{i\in\IN} \in l^1[/mm],
> also [mm]\sum_{m=1}^{\infty}{|s_m| < \infty[/mm].
> Wenn jetzt [mm](s_m)[/mm]
> keine Nullfolge wäre, wäre die Bedingung verletzt.
Ja, aber ich würde erstmal den Vollständigkeitsbeweis weiter versuchen. Meistens beweist man $x [mm] \in l^{1}$ [/mm] über die Tatsache [mm] $x_n [/mm] - x [mm] \in l^{1}$ [/mm] (und man weiß schon, dass [mm] x_n \in l^{1}).
[/mm]
Das heißt weitergehen würde es damit zu zeigen dass
[mm] $||x_k [/mm] - x|| = [mm] \sup_{n}\left|\sum_{i=1}^{n}(s_i^{k} - s_i)\right|$
[/mm]
gegen Null geht.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Do 07.03.2013 | | Autor: | Aegon |
> Hallo,
>
> du hast noch nicht gesagt, wo du die Behauptung her hast,
> dass der Raum nicht vollständig ist. Ich bin mir auch
> nicht sicher, ob er vollständig ist oder nicht, deswegen
> wäre das gut zu wissen.
>
Ich habe die Behauptung von hier:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)] auf Seite 5 die Bemerkung.
Ich habe die Norm in diesem Beispiel aber mit der Supremumsnorm verwechselt, also ziehe ich die Vermutung mal zurück :)
> Das heißt weitergehen würde es damit zu zeigen dass
>
> [mm]||x_k - x|| = \sup_{n}\left|\sum_{i=1}^{n}(s_i^{k} - s_i)\right|[/mm]
>
> gegen Null geht.
>
Das werde ich versuchen. Danke fürs tolle erklären!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 07.03.2013 | | Autor: | Aegon |
> Hallo,
>
> du hast noch nicht gesagt, wo du die Behauptung her hast,
> dass der Raum nicht vollständig ist. Ich bin mir auch
> nicht sicher, ob er vollständig ist oder nicht, deswegen
> wäre das gut zu wissen.
>
Ich habe die Behauptung von hier: (gerade gesehen, dass das Raufladen von Dateien hier ziemlich streng ist)
Habe nach "l1 mit sup norm vollständigkeit beweis" und dann den ersten Link auf Seite 5 die Bemerkung.
Ich habe die Norm in diesem Beispiel aber mit der Supremumsnorm verwechselt, also ziehe ich die Vermutung mal zurück :)
> Das heißt weitergehen würde es damit zu zeigen dass
>
> [mm]||x_k - x|| = \sup_{n}\left|\sum_{i=1}^{n}(s_i^{k} - s_i)\right|[/mm]
>
> gegen Null geht.
>
Das werde ich versuchen. Danke fürs tolle erklären!
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Hallo Aegon,
wegen dem tollen "Satz von Fred" (weiter unten im Thread) ist das vermutlich kein Banachraum.
Wäre [mm] $(l^{1},||.||)$ [/mm] ein Banachraum, wären die Normen $||x|| = [mm] \sup_{n\in\IN}\left|\sum_{i=1}^{n}s_i\right|$ [/mm] und [mm] $||x||_1 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty}|s_i|$ [/mm] äquivalent.
Also nimm man an es gäbe solch ein $C [mm] \in \IR$ [/mm] mit
Für alle $x [mm] \in l^{1}$: $\sum_{i=1}^{\infty}|s_i| [/mm] = [mm] ||x||_1 \le [/mm] C*||x|| = [mm] C*\sup_{n\in\IN}\left|\sum_{i=1}^{n}s_i\right|$.
[/mm]
Jetzt betrachte mal Folgen der Form
x = (1,-1,1,-1,...,1,-1,0,0,0,...)
(also eine bestimmte Anzahl von 1 und -1 am Anfang, dann Nullen).
---
Das ist übrigens eine weitere Möglichkeit, Vollständigkeit bzw. Nicht-Vollständigkeit zu zeigen: Nutze Sätze, die als Voraussetzungen "Vollständigkeit" besitzen. Manchmal kann man die Folgerungen aus den Sätzen leichter widerlegen (und damit wird ja dann die Vollständigkeit widerlegt).
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Do 07.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Aegon,
>
> wegen dem tollen "Satz von Fred" (weiter unten im Thread)
> ist das vermutlich kein Banachraum.
Hallo Stefan,
1. Der Satz ist nicht von mir. Er ist eine oft benutzte Argumentation in der Funktionalanalysis.
2. Deine Argumentation unten ist völlig korrekt. Gerade habe ich das gleiche geschrieben, da kannte ich Deine Antwort noch nicht.
3. Setzt man
[mm] x_m:=(1, \bruch{-1}{2},...., \bruch{(-1)^{m+1}}{m}, [/mm] 0,0,0,....)
so müßte, wenn ich mich nicht vertan habe, [mm] (x_m) [/mm] eine Cauchyfolge in $ [mm] (l^{1},||.||) [/mm] $ sein, die in $ [mm] (l^{1},||.||) [/mm] $ kein Grenzelement hat.
FRED
>
> Wäre [mm](l^{1},||.||)[/mm] ein Banachraum, wären die Normen [mm]||x|| = \sup_{n\in\IN}\left|\sum_{i=1}^{n}s_i\right|[/mm]
> und [mm]||x||_1 = \sum_{i=1}^{\infty}|s_i|[/mm] äquivalent.
>
> Also nimm man an es gäbe solch ein [mm]C \in \IR[/mm] mit
>
> Für alle [mm]x \in l^{1}[/mm]: [mm]\sum_{i=1}^{\infty}|s_i| = ||x||_1 \le C*||x|| = C*\sup_{n\in\IN}\left|\sum_{i=1}^{n}s_i\right|[/mm].
>
> Jetzt betrachte mal Folgen der Form
>
> x = (1,-1,1,-1,...,1,-1,0,0,0,...)
>
> (also eine bestimmte Anzahl von 1 und -1 am Anfang, dann
> Nullen).
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> ---
>
> Das ist übrigens eine weitere Möglichkeit,
> Vollständigkeit bzw. Nicht-Vollständigkeit zu zeigen:
> Nutze Sätze, die als Voraussetzungen "Vollständigkeit"
> besitzen. Manchmal kann man die Folgerungen aus den Sätzen
> leichter widerlegen (und damit wird ja dann die
> Vollständigkeit widerlegt).
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Do 07.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht ist das Folgende hilfreich (falls die benötigten Sätze dran waren):
Die übliche Norm auf [mm] l^1 [/mm] bez. ich mit [mm] ||x||_1=\sum_{m=1}^{\infty}|s_m| [/mm]
[mm] (x=(s_j))
[/mm]
Damit ist [mm] (l^1,||*||_1) [/mm] ein Banachraum.
Man sieht sofort, dass
(1) $||x|| [mm] \le ||x||_1$ [/mm] für alle x [mm] \in l^1 [/mm]
gilt.
1. Wir nehmen an, dass [mm] (l^1,||*||) [/mm] ein Banachraum ist und betrachten die Abb. [mm] $T:(l^1,||*||_1) \to (l^1,||*||) [/mm] $, def. durch T(x)=x.
Klar: T ist linear und bijektiv. Wegen
$||Tx||=||x|| [mm] \le ||x||_1$,
[/mm]
ist T auch stetig
Nach dem Satz über die stetige Inverse ist dann [mm] $T^{-1}:(l^1,||*||) \to (l^1,||*||_1) [/mm] $ stetig, also ex. ein C>0 mit:
(2) [mm] $||x||_1=||T^{-1}(x)||_1 \le [/mm] C||x||$ für alle x [mm] \in l^1.
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt: die Normen ||*|| und [mm] ||*||_1 [/mm] sind äquivalent.
2. Sind umgekehrt die beiden Normen äquivalent, so gibt es ein C>0 mit
(3) $||x|| [mm] \le ||x||_1 \le [/mm] C||x||$ für alle x [mm] \in l^1.
[/mm]
Aus (3) folgt nun rasch, dass [mm] (l^1,||*||) [/mm] ein Banachraum ist.
Fazit:
[mm] (l^1,||*||) [/mm] ist ein Banachraum [mm] \gdw [/mm] es ex. C>0 : [mm] $||x||_1 \le [/mm] C||x||$ für alle x [mm] \in l^1.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:48 Do 07.03.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo fred,
du hast leider einen wesentlichen Fehler in deiner Argumentationskette.
Ich hoffe, dass man ihn noch retten kann, hab aber bisher leider nicht gesehen wie, denn so wäre der Beweis wirklich schön.
> Nach dem Satz über die stetige Inverse
dieser Satz setzt bereits voraus, dass für [mm] $T:V\to [/mm] W$, V und W Banachräume sind.
Das ist hier aber erst zu zeigen.
edit: Ich sehe gerade, dass es wohl nicht zu retten ist :( Man benötigt zwingend die Banacheigenschaft BEIDER Räume.....
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Do 07.03.2013 | | Autor: | Aegon |
Danke für die Hilfe!
Ich dachte eigentlich, dass die Aufgabe recht einfach ist. Bin mir nicht sicher, ob ich alle Schritte deiner Lösung verstanden habe. Ich werde versuchen, deine Lösung nochmal nachzuvollziehen :)
Ich will nicht undankbar klingen, aber mir wäre lieber, wenn ich die Lösung über den Ansatz mit Cauchy-Folgen finden würde, um so eine Art "Kochrezept" für andere Beispiele zu haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Do 07.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Hilfe!
> Ich dachte eigentlich, dass die Aufgabe recht einfach ist.
> Bin mir nicht sicher, ob ich alle Schritte deiner Lösung
> verstanden habe. Ich werde versuchen, deine Lösung nochmal
> nachzuvollziehen :)
> Ich will nicht undankbar klingen, aber mir wäre lieber,
> wenn ich die Lösung über den Ansatz mit Cauchy-Folgen
> finden würde, um so eine Art "Kochrezept" für andere
> Beispiele zu haben.
Wir hatten:
(*) $ [mm] (l^1,||\cdot{}||) [/mm] $ ist ein Banachraum $ [mm] \gdw [/mm] $ es ex. C>0 : $ [mm] ||x||_1 \le [/mm] C||x|| $ für alle x $ [mm] \in l^1. [/mm] $
sei m [mm] \in \IN [/mm] (zunächst fest) und
[mm] s_j:=(-1)^{j+1} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] m und [mm] s_j=0 [/mm] für j>m.
damit ist [mm] x^{(m)}:=(s_j) \in l^1.
[/mm]
zeige:
1. || [mm] x^{(m)}||_1=m
[/mm]
2. || [mm] x^{(m)}||=1
[/mm]
3. Es gibt kein (!) C>0 mit: $ [mm] ||x||_1 \le [/mm] C||x|| $ für alle x $ [mm] \in l^1. [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Do 07.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Meine Antwort ist nicht fehlerhaft !
Ich zitiere aus meiner Antwort:
"1. Wir nehmen an, dass $ [mm] (l^1,||\cdot{}||) [/mm] $ ein Banachraum ist ......"
Mit dem Satz von der stetigen Inverse (die Vor. sind mit obiger Annahme erfüllt !) folgt dann die Äquivalenz der beiden Normen.
Mit dem zweiten Teil meiner Antwort hat man dann:
$ [mm] (l^1,||\cdot{}||) [/mm] $ ist ein Banachraum [mm] \gdw [/mm] die beiden Normen sind äquivalent.
Mehr hab ich nicht gesagt und auch nicht gewollt.
FRED
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:04 Do 07.03.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Fred,
> Meine Antwort ist nicht fehlerhaft !
> Ich zitiere aus meiner Antwort:
>
> "1. Wir nehmen an, dass [mm](l^1,||\cdot{}||)[/mm] ein Banachraum ist ......"
So hast du natürlich recht und meine übereilte Markierung tut mir Leid.
Allerdings bringt die Aussage dann ja nicht wirklich viel, denn das will der Threadersteller doch gerade erst zeigen.... oder ging es dir nu darum zu zeigen, dass
$ [mm] (l^1,||\cdot{}||) [/mm] $ ist ein Banachraum [mm] $\gdw$ [/mm] die beiden Normen sind äquivalent.
gilt?
Dafür braucht man doch aber nicht das Inverse-Mapping-Theorem *hm*
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Do 07.03.2013 | | Autor: | fred97 |
@ Gono:
Wir hatten:
$ [mm] (l^1,||\cdot{}||) [/mm] $ ist ein Banachraum $ [mm] \gdw [/mm] $ die beiden Normen sind äquivalent.
Für die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] braucht man den Satz von der Stetigen Inversen nicht. Für die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] aber schon.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Do 07.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Nachdem nun klar ist, dass diese Antwort
https://matheraum.de/read?i=953735
von mir nicht fehlerhaft ist, würde ich jemanden aus dem Moderatorenkreis bitte, dies entsprechend zu kennzeichnen.
Gruß FRED
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