Vollständigkeitsaxiom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 15.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Abend,
ich soll beweisen, dass die eine "Hälfte" des Vollständigkeitsaxioms die andere "Hälfte" impliziert. Zum Vollständigkeitsaxiom hatten wir folgendes notiert:
"Ein geordneter Körper heißt vollständig, wenn jede nach oben beschränkte Menge S eine Supremum besitzt und jeder nach unten beschränkte Menge S ein Infimum besitzt."
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Rechenansatz geben könnte, mit dessen Hilfe ich diese Aufgabe lösen kann. Wieso impliziert die eine Hälfte die andere? Wie kann ich diese Implikation anhand von Gleichungen beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Di 15.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da es im Körper Invers gibt, musst du nur zeigen, dass das sup( k) =inf(-k)
bzw das Inverse einer obere Schranke für k eine untere für -k ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:53 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Ehrlich gesagt bin ich etwas verwundert:
ist nicht sup(K)=-inf(-K) ?
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> Ehrlich gesagt bin ich etwas verwundert:
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> ist nicht sup(K)=-inf(-K) ?
Ja, genau!
mehr steckt nicht dahinter: Wenn das inf für nach unten beschränkte Mengen existiert, folgt nach dieser Gleichung dass auch das sup für nach oben beschränkte existiert, und umgekehrt...
Gruß, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 17.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Es macht doch aber einen Unterschied, ob man sagt:
sup(K)=-inf(-K)
bzw. sup(K)=inf(-K)
Die beiden Gleichungen sind doch nicht identisch. Was genau muss denn nun eigentlich gezeigt werden?
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Hallo Commotus,
> Es macht doch aber einen Unterschied, ob man sagt:
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> sup(K)=-inf(-K)
> bzw. sup(K)=inf(-K)
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> Die beiden Gleichungen sind doch nicht identisch. Was genau
> muss denn nun eigentlich gezeigt werden?
Na, sup(K)=-inf(-K) natürlich! Hast Du doch selbst geschrieben...
sup(K)=inf(-K) ist falsch, falls K nicht nur die 0 enthält.
Gruß Richard
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