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| Aufgabe | Beweisen Sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] , n >= 2, mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage [mm] a_{n} [/mm] > 2 gilt,
wobei [mm] a_{n} [/mm] := [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}. [/mm]
Hinweis: Mit der Bernoullischen Ungleichung kann man zeigen, dass [mm] b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für die Induktionsvoraussetzung habe ich n = 2 genommen, was [mm] 2+\bruch{1}{4} [/mm] > 2 ergibt. [mm] a_{n} [/mm] gilt also schon mal für n = 2.
Nun liegt das Problem beim Induktionsschritt und dem Hinweis mit [mm] b_{n}.
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{(n+1)})^{n+1} [/mm]
Egal, wie ich es auch umforme, die n+1 innerhalb der Klammer macht es mir nicht möglich, da ein [mm] a_{n} [/mm] herausfiltern zu können. Aber ohne [mm] a_{n} [/mm] kann ich die IV nicht nutzen und somit auch nicht zeigen, dass es > 2 ist.
Dann wäre da noch der Hinweis. Der erste Gedanke wäre, dass man sowas wie
[mm] a_{n}*b_{n} [/mm] > [mm] 2*b_{n}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] 2*b_{n} [/mm]
machen könnte.
Allerdings wäre [mm] 2*b_{n} [/mm] wegen [mm] b_{n} \ge [/mm] 1 dann [mm] \ge [/mm] 2. Aber man braucht ja [mm] a_{n+1} [/mm] > 2 und nicht [mm] a_{n+1} \ge [/mm] 2.
[mm] b_{n} [/mm] muss also irgendwie beim Umformen auftauchen. Aber da ich schon kein [mm] a_{n} [/mm] herausbekomme, wie soll ich dann [mm] b_{n}, [/mm] wo ein [mm] a_{n} [/mm] enthalten ist, bekommen.
Zusätzlich weiß ich nicht, wie man mit der Bernoullischen Ungleichung überhaupt auf [mm] b_{n} [/mm] kommen soll.
Soviel zu dem ersten Lösungsversuch meinerseits.
Der zweite ist viel einfacher, aber irgendwie... habe ich da so meine Zweifel.
Wenn man nämlich die Bernoullische Ungleichung, also [mm] (1+x)^{n} [/mm] > 1+nx (x [mm] \in \IR, [/mm] x > -1, x [mm] \not= [/mm] 0, n [mm] \ge [/mm] 2), benutzt, scheint das ganze sehr offensichtlich zu sein.
für [mm] a_{n} [/mm] hätte man x = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und somit
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] > [mm] 1+n(\bruch{1}{n}) [/mm] = 2 also [mm] a_{n} [/mm] > 2
für [mm] a_{n+1} [/mm] hätte man x = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und n = n+1 somit
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] > [mm] 1+(n+1)(\bruch{1}{n+1}) [/mm] = 2
oder
[mm] a_{n} [/mm] > 2
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] > 2
da [mm] 1+\bruch{1}{n} [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}*(1+\bruch{1}{n}) [/mm] > [mm] 2*(1+\bruch{1}{n}) [/mm]
da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n}*(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] > [mm] 2*(1+\bruch{1}{n+1})
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] 2*(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] = [mm] 2+\bruch{2}{n+1} [/mm] > 2
Allerdings braucht man hier, wie man sieht, [mm] b_{n} [/mm] überhaupt nicht. Deswegen zweifel ich auch daran, dass dies der richtige Weg ist.
Vielleicht hat jemand ne Idee oder einen Tipp, wie man diese Aufgabe lösen könnte.
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Als Hilfe ist dir ja
[mm](\*) \ \ \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \, , \ \ n \geq 1[/mm]
gegeben, was zu [mm]a_{n+1} \geq a_n[/mm] äquivalent ist. Mit anderen Worten: Die Folge ist streng monoton wachsend. Dann müssen aber insbesondere alle Folgenglieder ab dem zweiten größer als [mm]a_1 = 2[/mm] sein. Wieso du für diese triviale Folgerung einen Induktionsbeweis führen sollst, ist mir schleierhaft. Aber bitte, wenn's sein muß ...
Die eigentliche Arbeit liegt im Nachweis von [mm](\*)[/mm] (und das geht ganz ohne Induktion). Rechentechnisch wird er einfacher, wenn du die äquivalente Aussage
[mm]\frac{a_n}{a_{n-1}} \geq 1 \, , \ \ n \geq 2[/mm]
beweist:
[mm]\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}{\left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1}} = \left( \frac{\ \frac{n+1}{n} \ }{\ \frac{n}{n-1} \ } \right)^n \cdot \frac{n}{n-1}[/mm]
Jetzt den Doppelbruch beseitigen und die dritte binomische Formel beachten. Dann ist es nur noch eine kleine Sache, um die Bernoullische Ungleichung anwenden zu können. Überprüfe, ob alle Voraussetzungen für die Anwendbarkeit vorliegen.
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