Volumen- richtig berechnet? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Jennifer |
Ich habe gerade versucht das Volumen des Rotationskörper der funktion
f(x)=3*cos(2x) im Intervall 0--> [mm] \bruch{ \pi}{4}
[/mm]
zu berechnen. Die Funnktion rotiert um die x-Achse. Als Ergebnis habe ich 9 [mm] \pi [/mm] heraus...stimmt das?
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Sa 21.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Hallo,
ich hab jetzt einfach mal Derive benutzt und bekomme als Ergebniss [mm] \bruch{9 (\pi)^{2}}{8}
[/mm]
[mm] cos(2x)^{2} [/mm] integriert ergibt [mm] \bruch{sin (4\pi)}{8}+\bruch{x}{2}
[/mm]
Da die 3 eine Konstante ist kannst du sie quadrieren und vor das Integral ziehen.
Was hast du den als Stammfunktion?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Jennifer |
Oh kann man das auch mit dem gtr ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 So 22.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Jennifer,
wenn dein TR numerisch Integrale berechnen kann, kannst du ja einfach [mm] $\int_a^b \pi f^2(x) [/mm] dx$ berechnen lassen. Ich würde aber niemals den Näherungswert als Lösung akzeptieren, wenn du nicht die Stammfunktion von Hand berechnet hast! Kannst du also nur zur Kontrolle einsetzen.
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Sa 21.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Kann bitte mal wer mein Ergebniss Überprüfen?
Beim ersten mal hab ich ausversehen ne alte Derive Version benutzt und was anderes rausbekommen. Das jetztige Ergebniss sollte hoffentlich stimmen. Vertraue nie einem Computer-Programm :D
Ich blick grad gar nicht mehr durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
Ich habe mit meiner Handrechnung (ja, sowas gibt's auch noch ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") ...) dieselben Ergebnisse erhalten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Sa 21.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Hallo Loddar,
herzlichen Dank.
Nach drei Tagen fürs Colloquim lernen hat man so ein Bedürfniss nach etwas Handfestem, das kannst du dir gar nicht vorstellen ;)
Und das ich (Derive) recht hatte gibt mir jetzt einen richtigen Schub :D
Ich hör jetzt mal auf und schau mir morgen noch mal den Thread an.
Dann bin ich hoffentlich auch wieder in der Lage so was schnell mal ohne PC zu machen.
CU
Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
Wie lautet denn Deine Stammfunktion zur Bestimmung des Rotations-Volumens?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Jennifer |
also man muss die stammfunktion ja durch die hilfe der partiellen integration bilden...
V= [mm] \pi* \integral_{ \bruch{\pi}{4}}^{0} [/mm] {9*cos²(2x) dx}=
dann kann man ja die 9 als konstanten Faktor vorziehen. Am ende erhalte ich dann
=cos2x*(sin2x)*0,5-sin(2x)*cos(2x)*0,5- [mm] \integral{cos2x*cos2x}
[/mm]
Der erste ausdruck wird ja null und der zweite ist ja dann mit der ersten ausgangsgleichung identisch...also 9 [mm] \pi
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Sa 21.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Die Stammfunktion hab ich jetzt auch auf dem Papier ausgerechnet. Scheint also zu stimmen. Das neuere Derive hat sie auch bestätigt.
P.S.:
Die 9 kann man trotzdem vors Integral ziehen um ein bisschen mehr Übersicht zu bekommen;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 So 22.05.2005 | | Autor: | Jennifer |
Danke euch allen für eure ausführlichen Hilfen :). Ich probier es jetzt einfach nochmal in alter Frische ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 22.05.2005 | | Autor: | Jennifer |
Also ich glaube, dass ich weiß wo das problem liegt. ich bin einfach zu doof eine winkelfunlktion zu integrieren. [ Zu meiner Verteidigung...wir haben das noch gar nicht behandelt, aber ich soll es mir eben schon mal versuchen selber beizubringen und montag dann vorzustellen]
Also es gilt ja f'(x)=sinx und f(x)=cos x [danke, liebes tafelwerk ;)]
und ich muss ja:
9 [mm] \pi \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{4}} [/mm] {(cos(2x))² dx} integrieren...also integriere ich ja mit der partiellen Integration und komme so erst auf:
9 [mm] \pi \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{4}} [/mm] {(cos(2x))²*"1" dx}
=x*(cos(2x))²- [mm] \integral_ [/mm] {-2x*sin(4x)}
Und theoretisch kann ich hier ja endlos weiterintegrieren, ohne auch ein ergebnis zu kommen :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
> Also es gilt ja f'(x)=sinx und f(x)=cos x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Vorzeichenfehler! $f'(x) \ = \ [mm] \sin(x) [/mm] \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ f(x) \ = \ [mm] \red{-} \cos(x)$
[/mm]
Der Trick, Deine o.g. Funktion zu integrieren, ist aber etwas anders (partielle Integration ist völlig richtig!):
[mm] $\integral_{}^{} {\cos^2(2x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\underbrace{\cos(2x)}_{= \ u'} * \underbrace{\cos(2x)}_{= \ v} \ dx}$
[/mm]
Nach dem ersten Schritt der partiellen Integration solltest Du ersetzen:
[mm] $\sin^2(z) [/mm] + [mm] \cos^2(z) [/mm] \ = \ 1 \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ [mm] \sin^2(z) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \cos^2(z)$
[/mm]
Damit erhältst Du dann auf beiden Seiten der Gleichung den Ausdruck [mm] $\integral_{}^{} {\cos^2(2x) \ dx}$ [/mm] und kannst das dann entsprechend umstellen.
Kommst Du nun etwas weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Jennifer |
Ganz steige ich noch nicht dahinter...also es gilt ja:
$ [mm] \integral_{}^{} {\cos^2(2x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\underbrace{\cos(2x)}_{= \ u'} \cdot{} \underbrace{\cos(2x)}_{= \ v} \ dx} [/mm] $
Nach dem ersten Schritt der partiellen Integration erhalte ich:
[mm] \integral{cos²(2x) dx}= \bruch{1}{2}*sin(2x)*cos(2x)- \integral [/mm] ( -sin²(2x))
dann soll ich ersetzen:
$ [mm] \sin^2(z) [/mm] + [mm] \cos^2(z) [/mm] \ = \ 1 \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ [mm] \sin^2(z) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \cos^2(z) [/mm] $
also erhalte ich:
[mm] \integral{cos²(2x) dx}= \bruch{1}{2}*sin(2x)*cos(2x)- \integral [/mm] ( -(1-cos²(2x))
Ähm und wesentlich weiter komme ich nicht, bzw. sehe ich hier keine Vereinfachungsmöglichkeiten mehr.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mo 23.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Hallo.
Du kannst [mm] -\integral_{}^{} {cos^2(2x) dx} [/mm] auf die linke Seite bringen, so dass du bekommst:
[mm] 2*\integral_{}^{} {cos^2(2x) dx}=\bruch{1}{2}*sin(2x)*cos(2x)+\integral_{}^{} [/mm] 1 dx
[mm] \gdw \integral_{}^{} {cos^2(2x) dx}=\bruch{1}{4}*sin(2x)*cos(2x)+\bruch {1}{2}\integral_{}^{} [/mm] 1 dx
mit
[mm] \bruch{1}{4}*sin(2x)*cos(2x) [/mm] = [mm] \bruch{sin(4x)}{8}
[/mm]
Mfg
Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Jennifer |
Ah, danke danke :) jetzt habe ich es endlich verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 23.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier läuft es darauf hinaus das [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^{2}(x) dx} [/mm] zu berechnen.
Nun kann man natürlich das allgemeine Integral ausrechnen und Grenzen einstzen. Wenn man sich aber [mm] cos^{2}(x) [/mm] und sin{2}(x) zwischen 0 und [mm] \pi/2 [/mm] ansieht, ist der Flächeninhalt gleich!
also [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {sin^{2}(x) dx}.
[/mm]
Weiter: [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^{2}(x)+sin^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] 1*\pi/2
[/mm]
Also [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^{2}(x) dx} =\pi/4!
[/mm]
Also nur 2x durch y substituieren und man braucht nicht mehr wirklich integrieren!
Gruss leduart
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Besser noch die beiden Integrationsgrenzen vertauschen (große Zahl oben), da Du sonst ein Ergebnis mit umgekehrtem Vorzeichen erhältst.
