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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Di 17.05.2005 | | Autor: | Binu |
Aufgabe) Das Volumen einer Kugel ist V=4/3 pi [mm] r^3. [/mm] Leiten Sie daraus her, dass dann die Oberfläche dieser Kugel S=4 pi [mm] r^2 [/mm] ist.
(Lösungsansatz: Muss ich die Volumenformel mit etwas bestimmten gleichsetzen? Hab leider überhaupt keine Vorstellung, wie ich diese Aufgabe angehen soll..)
Vielen Dank im vorraus..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Binu
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Bei uns im Matheraum ist es üblich, dass wir vor der Frage eine nette Begrüssung machen, gerade so, als schreibe man einen Brief. 
Und sich im Voraus zu bedanken, ist nicht wichtig. Viel eher wird geschätzt, dass man eigene Lösungsansätze zu der Aufgabe mitliefert, damit die Denkfehler besser gefunden werden können.
> Aufgabe) Das Volumen einer Kugel ist V=4/3 pi [mm]r^3.[/mm] Leiten
> Sie daraus her, dass dann die Oberfläche dieser Kugel S=4
> pi [mm]r^2[/mm] ist.
>
> (Lösungsansatz: Muss ich die Volumenformel mit etwas
> bestimmten gleichsetzen? Hab leider überhaupt keine
> Vorstellung, wie ich diese Aufgabe angehen soll..)
>
Ich würde das etwa so überlegen:
Wenn man das Volumen einer gaaaanz dünnen Kugelschale berechnet, sagen wir mit der Dicke $h_$, würde man dies etwa so machen:
[mm] $V=\bruch{4\pi r^3}{3}-\bruch{4\pi (r-h)^3}{3}=\bruch{4\pi}{3}(r^3-(r-h)^3)$
[/mm]
Wenn du diese Formel durch $h_$ dividierst, und dabei $h_$ gegen null laufen lässt, so solltest du doch gerade die Oberfläche erhalten.
Also: [mm] $O=\lim_{h \to 0}\bruch{4\pi}{3}*\bruch{r^3-(r-h)^3}{h}$
[/mm]
Bei genauerem Hinsehen erkennst du auch, dass das gerade die 1. Ableitung des Volumens nach $r_$ ist.
Du kannst also schreiben:
[mm] $O=\bruch{dV}{dr}$
[/mm]
Kannst du das jetzt noch zu Ende rechnen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo Binu
Paulus hat es dem Niveau entsprechend auf die moderne weise gezeigt.
Man kann sich die Kugel aber auch aus "unendlich" vielen Pyramiden
zusammengesetzt denken deren Höhe r ist und die Summe derer
Volumina das Kugelvolumen ist - die Kugeloberfläche ist dann die
Summe der Grundflächen dieser Pyramiden.
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