Volumen, Oberfläche, Schwerpkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen, die Oberfläche und die Schwerpunkte des Quadratkegels Kq mit Spitze [mm] p=\vektor{0 \\ 0 \\ h } [/mm] (wobei h>0) und die Grundfläche:
[mm] Q={\vektor{x \\ y \\ 0 }\in\IR^3: |x|+|y|\le 1} [/mm] |
Hallo Mathe-Forum,
Ich beschäftige mich im Moment mit dieser Aufgabe und komme derzeit nicht weiter.
Zunächst habe ich diesen Körper skizziert, also es handelt sich hier um ein "Quadratkegel" mit der quadratischen Grundfläche der Länge 1 und der Höhe h.
(Mein Koordinatensystem habe ich so angelegt, dass die X-Y-Ebene die Grundfläche aufspannt und die Z-Achse die Höhe darstellt)
Als erstes wollte ich das Volumen berechnen (welches ich für den Schwerpunkt benötige)
Das Volumen berechne ich folgendermaßen:
[mm] \integral_{Kq}^{}{1 dx} [/mm]
Nun stellt sich mir das erste Problem und zwar die Integralgrenzen.
Wenn ich den Körper richtig skizziert habe, dann müsste die Grundfläche mit der Höhe immer kleiner werden.
Den einzigen Ansatz für die Integralgrenzen für das Volumen wäre:
[mm] ((|x|+|y|)+z)\le [/mm] 1 (Die Grundfläche wird mit der "Höhe" z immer kleiner, aber diese Bedingung würde nur bis maximal z=1 gelten)
Könntet ihr mir ein paar Tipps geben, wie man grundsätzlich bei solchen Aufgaben die Grenzen schneller erkennt?
Ich würde mich über ein paar Tipps sehr freuen!
Mit freundlichen Grüßen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Sa 16.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie das Volumen, die Oberfläche und die
> Schwerpunkte des Quadratkegels Kq mit Spitze [mm]p=\vektor{0 \\ 0 \\ h }[/mm]
> (wobei h>0) und die Grundfläche:
> [mm]Q={\vektor{x \\ y \\ 0 }\in\IR^3: |x|+|y|\le 1}[/mm]
> Hallo
> Mathe-Forum,
> Ich beschäftige mich im Moment mit dieser Aufgabe und
> komme derzeit nicht weiter.
> Zunächst habe ich diesen Körper skizziert, also es
> handelt sich hier um ein "Quadratkegel" mit der
> quadratischen Grundfläche der Länge 1 und der Höhe h.
Hallo,
das Ding heißt "Pyramide".
> (Mein Koordinatensystem habe ich so angelegt, dass die
> X-Y-Ebene die Grundfläche aufspannt und die Z-Achse die
> Höhe darstellt)
>
> Als erstes wollte ich das Volumen berechnen (welches ich
> für den Schwerpunkt benötige)
> Das Volumen berechne ich folgendermaßen:
> [mm]\integral_{Kq}^{}{1 dx}[/mm]
> Nun stellt sich mir das erste Problem und zwar die
> Integralgrenzen.
> Wenn ich den Körper richtig skizziert habe, dann müsste
> die Grundfläche mit der Höhe immer kleiner werden.
> Den einzigen Ansatz für die Integralgrenzen für das
> Volumen wäre:
> [mm]((|x|+|y|)+z)\le[/mm] 1 (Die Grundfläche wird mit der "Höhe"
> z immer kleiner, aber diese Bedingung würde nur bis
> maximal z=1 gelten)
> Könntet ihr mir ein paar Tipps geben, wie man
> grundsätzlich bei solchen Aufgaben die Grenzen schneller
> erkennt?
Hallo,
die Kantenlänge sinkt linear mit wachsendem z.
Ganz unten:
[mm] $|x|+|y|\le [/mm] 1$
In der Höhe z=h/2:
[mm] $|x|+|y|\le [/mm] 1/2$
In der Höhe z=h:
[mm] $|x|+|y|\le [/mm] 0$
In einer beliebigen Höhe h gilt
[mm] $|x|+|y|\le [/mm] k(z)$ , wobei k ein Term sein muss, der für z=0 den Wert 1 und für z=h den Wert 0 hat und linear sinkt. Das solltest du hinbekommen.
Gruz Abakus
>
> Ich würde mich über ein paar Tipps sehr freuen!
> Mit freundlichen Grüßen!
>
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